Questão 1 (2.5 p.): A função
descreve o movimento harmônico simples de um corpo. No instante
, determine (a) o deslocamento, (b) a velocidade, (c) a aceleração e (d) a fase do movimento. (e) Qual é a frequência e (f) qual o período do movimento?
Passo 1
O enunciado dá a posição do corpo como
e pede, no instante
: (a) o deslocamento, (b) a velocidade, (c) a aceleração, (d) a fase do movimento naquele instante; e também (e) a frequência e (f) o período do movimento.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Amplitude:
. - Pulsação (frequência angular):
. - Fase inicial (deslocamento de fase):
. - Instante considerado:
.
Passo 2
Vamos lembrar as fórmulas e a física por trás delas (passo-a-passo, sem pressa). A função dada é a forma padrão de um movimento harmônico simples (MHS):
Aqui:
-
é o deslocamento em metros no tempo . -
é a amplitude (em metros). -
é a pulsação ou frequência angular (em rad/s). -
é a fase inicial (em rad).
As relações entre posição, velocidade e aceleração vêm da derivação em relação ao tempo. Usando derivadas (regra da cadeia):
- Velocidade:
Explicação curta: a derivada de
é
; aqui
e
.
- Aceleração:
Explicação curta: derivando
outra vez, obtemos
.
Também é útil saber a relação entre
, frequência
e período
:
Passo 3
Calculemos a fase naquele instante: primeiro
.
Agora a fase total
:
Observação sobre periodicidade: como
e
têm período
, podemos reduzir
módulo
. Note que
é múltiplo de
, portanto
Passo 4
Calcular o deslocamento em
. Usamos:
Como explicado,
. Logo
Passo 5
Calcular a velocidade em
. Fórmula:
Aplicando no instante:
Como
, obtemos
Se quiser número aproximado: usando
e
,
Passo 6
Calcular a aceleração em
. Fórmula:
Aplicando:
Como
,
Aproximação numérica:
então
Passo 7
Relembrando a fase do movimento pedida no item (d): a fase instantânea é
Por periodicidade pode também ser dada na forma reduzida
que é o mesmo ângulo dentro da primeira volta (
a
).
Passo 8
Agora frequência e período. Como
,
Período:
Passo 9
Resumo rápido (e um incentivo): você viu passo a passo de como usar a função do MHS, tirar derivadas com regra da cadeia, reduzir ângulos usando periodicidade e calcular valores exatos e aproximados. Segue a resposta final abaixo — tá indo bem, respira fundo e revise esses passos mais uma vez antes da prova!
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d) (mód
=
)
(e)
(f)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)