Questão 1 (2.5 p.): A função x=(4,0 \mathrm{~m}) \cos [(2 \pi \mathrm{rad} / \mathrm{s}) t+\pi / 3 \mathrm{rad}] descreve o movimento harmônico simples de um corpo. No instante t=2,0 s, determine (a) o deslocamento, (b) a velocidade, (c) a aceleração e (d) a fase do movimento. (e) Qual é a frequência e (f) qual o período do movimento?

Passo 1

O enunciado dá a posição do corpo como
x(t) = (4{,}0\\ \mathrm{m})\cos\bigl[(2\pi\\ \mathrm{rad/s})\,t + \pi/3\\ \mathrm{rad}\bigr]
e pede, no instante t=2{,}0\\ \mathrm{s}: (a) o deslocamento, (b) a velocidade, (c) a aceleração, (d) a fase do movimento naquele instante; e também (e) a frequência e (f) o período do movimento.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Amplitude: A = 4{,}0\\ \mathrm{m}.
  • Pulsação (frequência angular): \omega = 2\pi\\ \mathrm{rad/s}.
  • Fase inicial (deslocamento de fase): \varphi = \pi/3\\ \mathrm{rad}.
  • Instante considerado: t = 2{,}0\\ \mathrm{s}.

Passo 2

Vamos lembrar as fórmulas e a física por trás delas (passo-a-passo, sem pressa). A função dada é a forma padrão de um movimento harmônico simples (MHS):
x(t) = A\cos(\omega t + \varphi).
Aqui:
  • x(t) é o deslocamento em metros no tempo t.
  • A é a amplitude (em metros).
  • \omega é a pulsação ou frequência angular (em rad/s).
  • \varphi é a fase inicial (em rad).
As relações entre posição, velocidade e aceleração vêm da derivação em relação ao tempo. Usando derivadas (regra da cadeia):
  • Velocidade:
v(t) = \frac{dx}{dt} = -A\omega\sin(\omega t + \varphi).
Explicação curta: a derivada de \cos(u) é -\sin(u)\cdot u'; aqui u=\omega t+\varphi e u'=\omega.
  • Aceleração:
a(t) = \frac{d^2x}{dt^2} = -A\omega^2\cos(\omega t + \varphi).
Explicação curta: derivando v(t) = -A\omega\sin(u) outra vez, obtemos -A\omega\cos(u)\cdot u' = -A\omega^2\cos(u).
Também é útil saber a relação entre \omega, frequência f e período T:
\omega = 2\pi f,\qquad f=\frac{\omega}{2\pi},\qquad T=\frac{1}{f}=\frac{2\pi}{\omega}.

Passo 3

Calculemos a fase naquele instante: primeiro \omega t.
\omega t = (2\pi\\ \mathrm{rad/s})\cdot(2{,}0\\ \mathrm{s}) = 4\pi\\ \mathrm{rad}.
Agora a fase total \theta(t)=\omega t+\varphi:
\theta(2{,}0)=4\pi+\pi/3=\frac{12\pi}{3}+\frac{\pi}{3}=\frac{13\pi}{3}\\ \mathrm{rad}.
Observação sobre periodicidade: como \cos e \sin têm período 2\pi, podemos reduzir \theta módulo 2\pi. Note que 4\pi é múltiplo de 2\pi, portanto
\theta(2{,}0)\\ \text{mod}\\\ 2\pi = \frac{13\pi}{3}\\ \text{mod}\\\ 2\pi = \frac{\pi}{3}\\ \mathrm{rad}.

Passo 4

Calcular o deslocamento em t=2{,}0\\ \mathrm{s}. Usamos:
x(2{,}0)=A\cos\bigl(\theta(2{,}0)\bigr)=4{,}0\cos\!\bigl(\tfrac{13\pi}{3}\bigr)\\ \mathrm{m}.
Como explicado, \cos\!\bigl(\tfrac{13\pi}{3}\bigr)=\cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{3}\bigr)=\tfrac{1}{2}. Logo
x(2{,}0)=4{,}0\cdot\frac{1}{2}=2{,}0\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Calcular a velocidade em t=2{,}0\\ \mathrm{s}. Fórmula:
v(t)=-A\omega\sin(\omega t+\varphi).
Aplicando no instante:
v(2{,}0)=-4{,}0\cdot(2\pi)\cdot\sin\!\bigl(\tfrac{13\pi}{3}\bigr)\\ \mathrm{m/s}.
Como \sin\!\bigl(\tfrac{13\pi}{3}\bigr)=\sin\!\bigl(\tfrac{\pi}{3}\bigr)=\tfrac{\sqrt{3}}{2}, obtemos
v(2{,}0)=-4{,}0\cdot2\pi\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=-4\pi\sqrt{3}\\ \mathrm{m/s}.
Se quiser número aproximado: usando \pi\approx3{,}1416 e \sqrt{3}\approx1{,}732,
v(2{,}0)\approx -21{,}77\\ \mathrm{m/s}.

Passo 6

Calcular a aceleração em t=2{,}0\\ \mathrm{s}. Fórmula:
a(t)=-A\omega^2\cos(\omega t+\varphi).
Aplicando:
a(2{,}0)=-4{,}0\cdot(2\pi)^2\cdot\cos\!\bigl(\tfrac{13\pi}{3}\bigr)\\ \mathrm{m/s^2}.
Como \cos\!\bigl(\tfrac{13\pi}{3}\bigr)=\tfrac{1}{2},
a(2{,}0)=-4{,}0\cdot(4\pi^2)\cdot\frac{1}{2}=-8\pi^2\\ \mathrm{m/s^2}.
Aproximação numérica: \pi^2\approx9{,}8696 então
a(2{,}0)\approx -78{,}96\\ \mathrm{m/s^2}.

Passo 7

Relembrando a fase do movimento pedida no item (d): a fase instantânea é
\theta(2{,}0)=\frac{13\pi}{3}\\ \mathrm{rad}.
Por periodicidade pode também ser dada na forma reduzida
\theta(2{,}0)\\ \text{(mód }2\pi)=\frac{\pi}{3}\\ \mathrm{rad},ó
que é o mesmo ângulo dentro da primeira volta ( 0 a 2\pi).

Passo 8

Agora frequência e período. Como \omega=2\pi\\ \mathrm{rad/s},
f=\frac{\omega}{2\pi}=\frac{2\pi}{2\pi}=1\\ \mathrm{Hz}.
Período:
T=\frac{1}{f}=1{,}0\\ \mathrm{s}.

Passo 9

Resumo rápido (e um incentivo): você viu passo a passo de como usar a função do MHS, tirar derivadas com regra da cadeia, reduzir ângulos usando periodicidade e calcular valores exatos e aproximados. Segue a resposta final abaixo — tá indo bem, respira fundo e revise esses passos mais uma vez antes da prova!

Resposta

(a) x(2{,}0\,\mathrm{s}) = 2{,}0\\ \mathrm{m}
(b) v(2{,}0\,\mathrm{s}) = -4\pi\sqrt{3}\\ \mathrm{m/s}\approx -21{,}77\\ \mathrm{m/s}
(c) a(2{,}0\,\mathrm{s}) = -8\pi^2\\ \mathrm{m/s^2}\approx -78{,}96\\ \mathrm{m/s^2}
(d) \theta(2{,}0)=\dfrac{13\pi}{3}\\ \mathrm{rad} (mód 2\pi = \dfrac{\pi}{3}\\ \mathrm{rad})
(e) f = 1\\ \mathrm{Hz}
(f) T = 1{,}0\\ \mathrm{s}

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