• 61 Uma roda de 32,0 \mathrm{~kg}, que pode ser considerada um aro fino com 1,20 \mathrm{~m} de raio, está girando a 280 \mathrm{rev} / \mathrm{min}. A roda precisa ser parada em 15,0 \mathrm{~s}. (a) Qual é o trabalho necessário para fazê-la parar? (b) Qual é a potência média necessária?

Passo 1

O enunciado dá uma roda que pode ser tratada como um aro fino e pede duas coisas: (a) o trabalho necessário para pará‑la e (b) a potência média necessária para isso. Dados fornecidos:
m=32{,}0\\ \mathrm{kg} (massa da roda), R=1{,}20\\ \mathrm{m} (raio), velocidade angular inicial 280\\ \mathrm{rev/min} e tempo para parar \Delta t=15{,}0\\ \mathrm{s}. O que a questão pede:
(a) o trabalho W realizado para levar a roda de sua velocidade inicial até repouso;
(b) a potência média P_{\text{médio}}=\dfrac{W}{\Delta t}é.

Passo 2

Primeiro convertemos a velocidade angular de revoluções por minuto para radianos por segundo. A relação é:
1\\ \mathrm{rev}=2\pi\\ \mathrm{rad},\qquad 1\\ \mathrm{min}=60\\ \mathrm{s}.
Portanto
\omega_i = 280\\ \mathrm{rev/min}\times\frac{2\pi\\ \mathrm{rad}}{1\\ \mathrm{rev}}\times\frac{1\\ \mathrm{min}}{60\\ \mathrm{s}} =\frac{280\cdot 2\pi}{60}\\ \mathrm{rad/s}=\frac{28\pi}{3}\\ \mathrm{rad/s}.
Em valor numérico,
\omega_i \approx 29{,}32\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 3

Para um aro fino (toda massa no raio R) o momento de inércia em torno do eixo central é
I = mR^2,
onde m é a massa e R o raio. Substituindo os números:
I = 32{,}0\cdot(1{,}20)^2 = 32{,}0\cdot 1{,}44 = 46{,}08\\ \mathrm{kg\cdot m^2}.
Expliquei: I mede a “inércia rotacional” — quanto mais massa e quanto maior o raio, mais difícil é mudar o giro.

Passo 4

Energia cinética rotacional de um corpo em rotação é dada por
K=\tfrac{1}{2}I\omega^2,
onde I é o momento de inércia e \omega a velocidade angular. A roda passa de K_i=\tfrac{1}{2}I\omega_i^2 para K_f=0 (repouso). Calculamos K_i usando a expressão exata \omega_i=\dfrac{28\pi}{3}:
\omega_i^2=\left(\frac{28\pi}{3}\right)^2=\frac{784\pi^2}{9}.
Logo
K_i=\tfrac{1}{2}\,I\,\omega_i^2 =\tfrac{1}{2}\cdot 46{,}08\cdot\frac{784\pi^2}{9} =2007{,}04\,\pi^2\\ \mathrm{J}.
Agora o valor numérico (usando \pi^2\approx 9{,}8696):
K_i \approx 2007{,}04\times 9{,}8696 \approx 1{,}9809\times 10^{4}\\ \mathrm{J}.
Interpretação prática: essa é a energia que precisa ser retirada da roda para pará‑la.

Passo 5

O trabalho total realizado sobre a roda para pará‑la é a variação da energia cinética:
W = \Delta K = K_f - K_i = 0 - K_i = -K_i.
Ou seja, o freio realiza trabalho negativo sobre a roda igual em módulo à energia cinética inicial. Numérico:
W \approx -1{,}98\times 10^{4}\\ \mathrm{J}.
Observação: o sinal negativo indica que a energia é removida da roda (dissipada pelo freio). Se a pergunta quiser só a quantidade de energia a ser dissipada, use o módulo 1{,}98\times 10^{4}\\ \mathrm{J}.

Passo 6

Potência média é trabalho dividido pelo intervalo de tempo:
P_{\text{médio}}=\frac{W}{\Delta t}.é
Substituindo W\approx -1{,}9809\times 10^{4}\\ \mathrm{J} e \Delta t=15{,}0\\ \mathrm{s}:
P_{\text{médio}}\approx\frac{-1{,}9809\times 10^{4}}{15{,}0}\\ \mathrm{W}\approx -1{,}3206\times 10^{3}\\ \mathrm{W}.é
Interpretação: o valor negativo mostra potência retirada do sistema; em módulo a potência média entregue pelo freio (dissipada) é 1{,}32\times 10^{3}\\ \mathrm{W} (≈ 1{,}32\\ \mathrm{kW}).

Resposta

(a) W = -1{,}98\times 10^{4}\\ \mathrm{J}\n
(b) P_{\text{médio}} = -1{,}32\times 10^{3}\\ \mathrm{W}é

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