Questão: Uma partícula se desloca em um plano x-y, de tal modo que a sua posição é dada por: r(t)=(4 b t^3) i^wed>=+(c t^2) j. Sabendo que b e c são constantes positivas, Determine:
(b) O vetor aceleração em um instante qualquer;

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma partícula que se move em um plano x-y com a posição dada pela função:
r(t) = (4 b t^3) i + (c t^2) j
Nosso objetivo é determinar o vetor aceleração da partícula em qualquer instante de tempo t. Para isso, vamos trabalhar com conceitos de cálculo, mais especificamente derivadas, que nos ajudam a encontrar velocidades e acelerações a partir da posição.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que a aceleração é a segunda derivada da posição em relação ao tempo. Ou seja:
a(t) = d^2r(t)dt^2
Isso significa que vamos derivar a função posição duas vezes para encontrar a aceleração.

Passo 3

Vamos calcular a primeira derivada da posição, que nos dá a velocidade:
v(t) = dr(t)dt = ddt(4 b t^3) i + ddt(c t^2) j
Calculando as derivadas:
ddt(4 b t^3) = 12 b t^2
ddt(c t^2) = 2 c t
Portanto, a velocidade é:
v(t) = 12 b t^2 i + 2 c t j

Passo 4

Agora, vamos calcular a segunda derivada da posição, ou seja, a derivada da velocidade, para encontrar a aceleração:
a(t) = dv(t)dt = ddt(12 b t^2) i + ddt(2 c t) j
Calculando as derivadas:
ddt(12 b t^2) = 24 b t
ddt(2 c t) = 2 c
Portanto, a aceleração é:
a(t) = 24 b t i + 2 c j

Resposta

O vetor aceleração em um instante qualquer t é:
a(t) = 24 b t i + 2 c j

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