Questão 6
Uma partícula com massa
desliza, a partir do repouso, para baixo em um plano inclinado sob a ação da gravidade. Se o movimento for influenciado por uma força de resistência igual a
, e o ângulo que o plano inclinado forma com o plano horizontal é
, determine: (a) a velocidade da partícula após
de movimento; (b) a distância percorrida pela partícula após
de movimento. Utilize
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala de uma partícula de massa
que escorrega num plano inclinado de
sob a gravidade e sofre resistência proporcional à velocidade:
.
Conteúdo: dinâmica com força de arrasto linear e resolução de EDO do tipo
Conteúdo: dinâmica com força de arrasto linear e resolução de EDO do tipo
O que vamos precisar:
- Montar a equação diferencial para
. - Resolver essa EDO (equação de 1ª ordem, linear).
- Integrar
para achar a posição . - Substituir
, , e .
Passo 2
Escrevendo a EDO:
Isto é uma equação linear de 1ª ordem. O “fator integrante” é
. Multiplicando tudo por
:
Agora é só integrar em
.
Passo 3
Integração para achar
(sabendo que
):
Logo
Esse é o comportamento típico: parte de zero e tende assintoticamente a
.
Passo 4
Para achar a distância
, integramos
:
Fazendo a integral:
Passo 5
Agora só numerar:
-
, então . -
.
(a) Velocidade em
, como
:
(b) Distância em
:
Resposta
(a)
(b)
(b)