Questão 6

Uma partícula com massa m desliza, a partir do repouso, para baixo em um plano inclinado sob a ação da gravidade. Se o movimento for influenciado por uma força de resistência igual a k m v, e o ângulo que o plano inclinado forma com o plano horizontal é theta=30^circ, determine: (a) a velocidade da partícula após 5 s de movimento; (b) a distância percorrida pela partícula após 5 s de movimento. Utilize k=0,2 s^-1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala de uma partícula de massa mdvdt = m gsintheta - k m v que escorrega num plano inclinado de sob a gravidade e sofre resistência proporcional à velocidade: .
Conteúdo: dinâmica com força de arrasto linear e resolução de EDO do tipo
O que vamos precisar:
  • Montar a equação diferencial para .
  • Resolver essa EDO (equação de 1ª ordem, linear).
  • Integrar para achar a posição .
  • Substituir , , e .

Passo 2

Escrevendo a EDO:
mdvdt = m gsintheta - k m v Longrightarrow dvdt + k,v = gsintheta
Isto é uma equação linear de 1ª ordem. O “fator integrante” é e^ktdvdt + k,e^ktv = gsintheta,e^kt ;Longrightarrow; ddtl(v,e^ktr) = gsintheta,e^kt . Multiplicando tudo por :
Agora é só integrar em .

Passo 3

Integração para achar v(t),e^kt = integral0^t gsintheta,e^ktau,dtau = gsintheta;e^kt-1k (sabendo que v(t) = gsinthetakl(1 - e^-k tr) ):
Logo
Esse é o comportamento típico: parte de zero e tende assintoticamente a .

Passo 4

Para achar a distância x(t) = integral0^t v(tau),dtau = integral0^t gsinthetakl(1 - e^-ktaur)dtau , integramos x(t) = gsinthetakl[t + 1k(e^-kt-1)r] = gsinthetak,t ;-;gsinthetak^2l(1 - e^-ktr) :
Fazendo a integral:

Passo 5

Agora só numerar:
  • v(5) = 4,90,2l(1 - e^-1r) = 24,5;(1 - e^-1) approx 24,5cdot0,6321 approx 15,5 m/s , então x(5) = 4,90,2cdot5 ;-;4,9(0,2)^2l(1-e^-1r) = 24,5cdot5 ;-;122,5cdot0,6321 approx 122,5 - 77,4 approx 45,1 m .
  • .
(a) Velocidade em , como :
(b) Distância em :

Resposta

(a)
(b)

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