Questão 7: Uma corrente i flui ao longo de uma espira circular. Encontre a integral \int \vec{B} \cdot d \vec{l} ao longo do eixo da espira entre as distâncias -\infty a +\infty. Explique o resultado obtido em termos da lei de Ampère.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int_{-\infty}^{\infty}\vec B\cdot d\vec l
ao longo do eixo (eixo z) de uma espira circular de raio R que carrega corrente i.
Conteúdo: campo magnético gerado por espira circular e aplicação da lei de Ampère.

Passo 2

No eixo da espira, o campo é inteiramente axial e seu valor é dado por
\vec B(z)=B_z(z)\,\hat z, \quad B_z(z) =\frac{\mu_{0}\,i\,R^{2}}{2\,(R^{2}+z^{2})^{3/2}}
onde \hat z é o vetor unitário ao longo do eixo.

Passo 3

Como d\vec l=dz\,\hat z, temos
\vec B\cdot d\vec l =B_z(z)\,dz =\frac{\mu_{0}\,i\,R^{2}}{2\,(R^{2}+z^{2})^{3/2}}\,dz,
e a integral torna-se
\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\mu_{0}\,i\,R^{2}}{2\,(R^{2}+z^{2})^{3/2}}\,dz.

Passo 4

Para calcular
I =\int_{-\infty}^{\infty}\frac{dz}{(R^{2}+z^{2})^{3/2}}
usamos a primitiva
\int\frac{dz}{(R^{2}+z^{2})^{3/2}} =\frac{z}{R^{2}\sqrt{R^{2}+z^{2}}}
e avaliamos de z=-\infty a z=+\infty:
I =\lim_{z\to\infty}\frac{z}{R^{2}\sqrt{R^{2}+z^{2}}} -\lim_{z\to-\infty}\frac{z}{R^{2}\sqrt{R^{2}+z^{2}}} =\frac1{R^{2}}-\bigl(-\tfrac1{R^{2}}\bigr) =\frac{2}{R^{2}}.
Logo
\int_{-\infty}^{\infty}\vec B\cdot d\vec l =\frac{\mu_{0}\,i\,R^{2}}{2}\cdot\frac{2}{R^{2}} =\mu_{0}\,i.

Passo 5

Interpretando pela lei de Ampère: considere um contorno fechado que sobe pelo eixo de z=-\infty a +\infty e fecha-se em infinito onde \vec B\approx0. A lei diz
\oint\vec B\cdot d\vec l =\mu_{0}\,i_{\rm int}.
Como o trecho no infinito não contribui, a parte no eixo deve valer \mu_{0}i, em perfeita concordância com o cálculo direto.

Resposta

\displaystyle \mu_{0}\,i

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