Questão 5. Uma pedra é lançada para cima a partir do solo de Marte com velocidade de 10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Sua altura, em metros, t segundos após o lançamento é dada pela equação A(t)=100 t-5 t^{2}.
(a) Encontre a velocidade da pedra após 1 segundo.
(b) Encontre a velocidade da pedra no tempo t=a.
(c) Quando a pedra atinge a superfície?
(d) Com qual velocidade a pedra atinge a superfície?

Passo 1

O enunciado dá a altura da pedra em função do tempo por
A(t)=100\,t - 5\,t^{2}
e pergunta sobre velocidade e tempo de queda. O conteúdo é derivadas: a velocidade instantânea v(t) é a derivada de A(t).

Passo 2

Calcular a derivada de A(t) para obter a velocidade
v(t) = A'(t) = \frac{d}{dt}\bigl(100\,t - 5\,t^{2}\bigr) = 100 - 10\,t.

Passo 3

Avaliar v(t) em t=1 segundo:
v(1) = 100 - 10\cdot 1 = 90\\ \text{m/s}.

Passo 4

Expressar a velocidade no tempo t=a:
v(a) = 100 - 10\,a.

Passo 5

Determinar quando a pedra volta ao solo, resolvendo A(t)=0:
100\,t - 5\,t^{2} = 0 \quad\Longrightarrow\quad t\,(100 - 5\,t)=0 \quad\Longrightarrow\quad t=0\\ \text{ou}\\ t=20\\ \text{s}.
Ignoramos t=0 (lançamento) e ficamos com t=20 s.

Passo 6

Calcular a velocidade no impacto ( t=20 s):
v(20) = 100 - 10\cdot 20 = -100\\ \text{m/s},
onde o sinal negativo indica que a pedra está descendo.

Resposta

(a) 90\\ \text{m/s}
(b) 100 - 10\,a\\ \text{m/s}
(c) 20\\ \text{s}
(d) -100\\ \text{m/s}

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