Questão 9. O perfil de para escoamento completamente desenvolvido de óleo castor a 20^{\circ} \mathrm{C} entre placas paralelas, com a placa superior em movimento. Considere \mathrm{U}=1,5 \mathrm{~m} / \mathrm{s} e a =5 \mathrm{~mm}. Determine o gradiente de pressão para o qual não há vazão resultante na direção x.

Passo 1

O enunciado pede: determinar o gradiente de pressão para o qual NÃO há vazão resultante na direção x (isto é, vazão volumétrica por unidade de largura Q=0) no escoamento completamente desenvolvido de óleo de mamona (castor) a 20^\circ\mathrm{C} entre placas paralelas, com a placa superior em movimento. Dados fornecidos:
  • velocidade da placa superior: U=1{,}5\\ \mathrm{m/s};
  • separação entre placas: a=5\\ \mathrm{mm}=0{,}005\\ \mathrm{m}.
Informação adicional usada (propriedade do fluido): viscosidade dinâmica do óleo de mamona a 20^\circ\mathrm{C} tomada de tabela de propriedades:
  • \mu=0{,}986\\ \mathrm{Pa\cdot s}.
A tarefa é achar \dfrac{dp}{dx} tal que o fluxo líquido Q=\displaystyle\int_{0}^{a} u(y)\,dy seja nulo.

Passo 2

Escrever a equação diferencial que governa o escoamento totalmente desenvolvido, laminar e unidimensional entre placas (pressão função apenas de x, velocidade apenas função de y). A equação de momento em x reduz-se a equilíbrio entre gradiente de pressão e viscosidade:
0 = -\frac{dp}{dx} + \mu \frac{d^{2}u}{dy^{2}}.
Rearranjando:
\mu \frac{d^{2}u}{dy^{2}} = \frac{dp}{dx}.
Explicação dos termos:
  • \dfrac{dp}{dx} é o gradiente de pressão (constante no escoamento completamente desenvolvido);
  • \mu é a viscosidade dinâmica;
  • u(y) é a componente de velocidade na direção x, função apenas de y.

Passo 3

Integrar a equação duas vezes em relação a y para obter u(y). Primeira integração:
\mu \frac{du}{dy} = \frac{dp}{dx}\,y + C_{1},
onde C_{1} é constante de integração. Segunda integração:
\mu u(y) = \frac{dp}{dx}\,\frac{y^{2}}{2} + C_{1}y + C_{2},
ou isolando u(y):
u(y) = \frac{1}{2\mu}\frac{dp}{dx}\,y^{2} + \frac{C_{1}}{\mu}\,y + \frac{C_{2}}{\mu}.

Passo 4

Aplicar as condições de contorno (no-slip nas placas):
  • na placa inferior ( y=0 ): u(0)=0;
  • na placa superior ( y=a ): u(a)=U.
Da condição u(0)=0 segue:
0 = \frac{1}{2\mu}\frac{dp}{dx}\,0^{2} + \frac{C_{1}}{\mu}\,0 + \frac{C_{2}}{\mu}\quad\Rightarrow\quad C_{2}=0.
Da condição u(a)=U:
U = \frac{1}{2\mu}\frac{dp}{dx}\,a^{2} + \frac{C_{1}}{\mu}\,a.
Isolando C_{1}:
C_{1} = \mu\left(\frac{U}{a} - \frac{1}{2\mu}\frac{dp}{dx}\,a\right)=\mu\frac{U}{a} - \frac{1}{2}\frac{dp}{dx}\,a.

Passo 5

Substituir C_{1} e C_{2}=0 na expressão de u(y). Assim:
u(y)=\frac{1}{2\mu}\frac{dp}{dx}\,y^{2} + \left(\frac{U}{a} - \frac{1}{2\mu}\frac{dp}{dx}\,a\right)y.
É a combinação de um termo quadrático (devido ao gradiente de pressão) e um termo linear (devido ao cisalhamento da placa).

Passo 6

Calcular a vazão por unidade de largura Q (vazão volumétrica por comprimento unitário na direção z):
Q=\int_{0}^{a} u(y)\,dy.
Fazer a integral termo a termo. Primeiro termo:
\int_{0}^{a} \frac{1}{2\mu}\frac{dp}{dx}\,y^{2}\,dy = \frac{1}{2\mu}\frac{dp}{dx}\cdot\frac{a^{3}}{3}=\frac{1}{6\mu}\frac{dp}{dx}\,a^{3}.
Segundo termo:
\int_{0}^{a}\left(\frac{U}{a} - \frac{1}{2\mu}\frac{dp}{dx}\,a\right)y\,dy = \left(\frac{U}{a} - \frac{1}{2\mu}\frac{dp}{dx}\,a\right)\frac{a^{2}}{2} = \frac{aU}{2} - \frac{1}{4\mu}\frac{dp}{dx}\,a^{3}.
Somando:
Q=\frac{1}{6\mu}\frac{dp}{dx}\,a^{3} + \frac{aU}{2} - \frac{1}{4\mu}\frac{dp}{dx}\,a^{3}.
Combinar os termos com \dfrac{dp}{dx}:
\frac{1}{6} - \frac{1}{4} = -\frac{1}{12},
logo
Q = -\frac{1}{12\mu}\frac{dp}{dx}\,a^{3} + \frac{aU}{2}.

Passo 7

Impor a condição pedida: vazão resultante nula, Q=0. Assim:
-\frac{1}{12\mu}\frac{dp}{dx}\,a^{3} + \frac{aU}{2} = 0.
Isolar \dfrac{dp}{dx}:
\frac{1}{12\mu}\frac{dp}{dx}\,a^{3} = \frac{aU}{2} \quad\Rightarrow\quad \frac{dp}{dx} = \frac{12\mu\,\dfrac{aU}{2}}{a^{3}} = \frac{6\mu U}{a^{2}}.
Interpretação do sinal: o resultado é positivo. Isso significa que a pressão aumenta na direção x (gradiente adverso) de modo a anular a vazão induzida pelo movimento da placa superior.

Passo 8

Calcular numericamente usando os dados fornecidos:
Valores:
\mu=0{,}986\\ \mathrm{Pa\cdot s},\quad U=1{,}5\\ \mathrm{m/s},\quad a=0{,}005\\ \mathrm{m}.
Substituindo em
\frac{dp}{dx}=\frac{6\mu U}{a^{2}}
obtém-se
\frac{dp}{dx}=\frac{6\cdot 0{,}986\cdot 1{,}5}{(0{,}005)^{2}}.
Calcular passo a passo:
0{,}986\cdot 1{,}5 = 1{,}479,
6\cdot 1{,}479 = 8{,}874,
a^{2}=(0{,}005)^{2}=0{,}000025=2{,}5\times10^{-5}.
Portanto
\frac{dp}{dx}=\frac{8{,}874}{2{,}5\times10^{-5}} \approx 3{,}5496\times10^{5}\\ \mathrm{Pa\cdot m^{-1}}.
Arredondando com três dígitos significativos:
\frac{dp}{dx}\approx 3{,}55\times10^{5}\\ \mathrm{Pa\cdot m^{-1}}.

Resposta

\dfrac{dp}{dx}\approx 3{,}55\times10^{5}\\ \mathrm{Pa\cdot m^{-1}}

Exercícios relacionados