Questão 9. O perfil de para escoamento completamente desenvolvido de óleo castor a
entre placas paralelas, com a placa superior em movimento. Considere
e a
. Determine o gradiente de pressão para o qual não há vazão resultante na direção x.
Passo 1
O enunciado pede: determinar o gradiente de pressão para o qual NÃO há vazão resultante na direção
(isto é, vazão volumétrica por unidade de largura
) no escoamento completamente desenvolvido de óleo de mamona (castor) a
entre placas paralelas, com a placa superior em movimento. Dados fornecidos:
- velocidade da placa superior:
; - separação entre placas:
.
Informação adicional usada (propriedade do fluido): viscosidade dinâmica do óleo de mamona a
tomada de tabela de propriedades:
-
.
A tarefa é achar
tal que o fluxo líquido
seja nulo.
Passo 2
Escrever a equação diferencial que governa o escoamento totalmente desenvolvido, laminar e unidimensional entre placas (pressão função apenas de
, velocidade apenas função de
). A equação de momento em
reduz-se a equilíbrio entre gradiente de pressão e viscosidade:
Rearranjando:
Explicação dos termos:
-
é o gradiente de pressão (constante no escoamento completamente desenvolvido); -
é a viscosidade dinâmica; -
é a componente de velocidade na direção , função apenas de .
Passo 3
Integrar a equação duas vezes em relação a
para obter
. Primeira integração:
onde
é constante de integração. Segunda integração:
ou isolando
:
Passo 4
Aplicar as condições de contorno (no-slip nas placas):
- na placa inferior (
): ; - na placa superior (
): .
Da condição
segue:
Da condição
:
Isolando
:
Passo 5
Substituir
e
na expressão de
. Assim:
É a combinação de um termo quadrático (devido ao gradiente de pressão) e um termo linear (devido ao cisalhamento da placa).
Passo 6
Calcular a vazão por unidade de largura
(vazão volumétrica por comprimento unitário na direção
):
Fazer a integral termo a termo. Primeiro termo:
Segundo termo:
Somando:
Combinar os termos com
:
logo
Passo 7
Impor a condição pedida: vazão resultante nula,
. Assim:
Isolar
:
Interpretação do sinal: o resultado é positivo. Isso significa que a pressão aumenta na direção
(gradiente adverso) de modo a anular a vazão induzida pelo movimento da placa superior.
Passo 8
Calcular numericamente usando os dados fornecidos:
Valores:
Valores:
Substituindo em
obtém-se
Calcular passo a passo:
Portanto
Arredondando com três dígitos significativos: