Questão 5. Um líquido Incompressível, com massa específica igual a
e viscosidade desprezível, escoa em regime permanente através de um tubo horizontal de diâmetro constante. Em uma seção porosa de comprimento
, líquido é removido a uma taxa variável ao longo do comprimento de tal forma que a uniforme axial no é
, em que
. Desenvolva expressões para a aceleração de uma partícula fluida ao longo da linha de centro da seção porosa e pra o gradiente de pressão ao longo desta linha. Avalie a pressão de saída se a pressão na entrada da seção porosa for igual a 50 kPa (manométrica).
Passo 1
O enunciado fornece e pede o seguinte (tudo o que segue foi retirado do enunciado):
- Massa específica do líquido:
. - Viscosidade desprezível (portanto pode-se usar a equação de movimento sem termo viscoso — ver passos seguintes).
- Tubo horizontal de diâmetro constante.
- Seção porosa de comprimento
onde há retirada de líquido ao longo do comprimento. - Velocidade axial na linha de centro dada por
, com . - Pressão na entrada da seção porosa:
(manométrica).
O que o exercício pede:
- Desenvolver expressão para a aceleração de uma partícula fluida ao longo da linha de centro (isto é,
ao longo do eixo ). - Desenvolver expressão para o gradiente de pressão ao longo dessa linha (isto é,
como função de ). - Avaliar numericamente a pressão de saída
dada .
Passo 2
Entendendo a aceleração de uma partícula fluida (noção e fórmula usada).
- Em mecânica dos fluidos, a aceleração material de uma partícula que se move com o fluido é o derivado total (material) da velocidade:
. - Aqui o escoamento é permanente (regime estacionário), logo
. Assim a aceleração ao longo da linha de centro reduz-se a
- Agora calculo
a partir de :
- Como
, pode-se notar também que . - Portanto a aceleração é
- Substituindo
em forma explícita obtemos
Observação física breve: o sinal negativo indica desaceleração ao longo de
(a velocidade diminui para
maiores porque há retirada de massa pela parede porosa).
Passo 3
Equação de momento (Euler) e relação entre aceleração e gradiente de pressão.
- Para fluido incompressível, invíscido e em regime estacionário, a equação de Euler unidimensional ao longo da direção
(sem componente de gravidade na direção do escoamento, pois o tubo é horizontal) é
Aqui
é a massa específica,
a velocidade axial e
a pressão ao longo do eixo.
- Isolando o gradiente de pressão:
- Usando
obtemos
- Escrevendo explicitamente em função de
com :
Nota sobre o sinal:
indica que a pressão aumenta no sentido positivo de
(isto é, a pressão sobe à medida que o fluido desacelera porque parte do momento é extraída pela parede porosa).
Passo 4
Integração do gradiente para obter
e cálculo numérico de
.
- Integro
entre e :
(uso
como variável de integração para evitar confusão).
- Calculo da integral:
- Substituindo no termo de pressão:
- Logo a expressão geral é
- Para a pressão de saída, tomo
:
- Agora avalio numericamente com
, e :
(Apresentado em pressão manométrica, na mesma referência dada no enunciado.)
Passo 5
Resumo físico e dicas para prova (rápido e confortante):
- A aceleração material para escoamento unidimensional e estacionário é sempre
. Aqui a retirada de massa pela parede causou e, portanto, desaceleração. - Para fluido invíscido use a equação de Euler
(se tubo horizontal, não entra termo de gravidade axial). Essa é a forma que liga aceleração à variação de pressão; integre para obter . - Na prova: identifique se o escoamento é estacionário e invíscido; calcule
e aplique Euler — passo a passo isso salva tempo e evita erros.