Questão 5. Um líquido Incompressível, com massa específica igual a 900 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} e viscosidade desprezível, escoa em regime permanente através de um tubo horizontal de diâmetro constante. Em uma seção porosa de comprimento \mathrm{L}=2 \mathrm{~m}, líquido é removido a uma taxa variável ao longo do comprimento de tal forma que a uniforme axial no é u(x)=U e^{-x / L}, em que U=20 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Desenvolva expressões para a aceleração de uma partícula fluida ao longo da linha de centro da seção porosa e pra o gradiente de pressão ao longo desta linha. Avalie a pressão de saída se a pressão na entrada da seção porosa for igual a 50 kPa (manométrica).

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte (tudo o que segue foi retirado do enunciado):
  • Massa específica do líquido: \rho=900\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3.
  • Viscosidade desprezível (portanto pode-se usar a equação de movimento sem termo viscoso — ver passos seguintes).
  • Tubo horizontal de diâmetro constante.
  • Seção porosa de comprimento L=2\\ \mathrm{m} onde há retirada de líquido ao longo do comprimento.
  • Velocidade axial na linha de centro dada por \displaystyle u(x)=U e^{-x/L}, com U=20\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}.
  • Pressão na entrada da seção porosa: p(0)=50\\ \mathrm{kPa} (manométrica).
O que o exercício pede:
  1. Desenvolver expressão para a aceleração de uma partícula fluida ao longo da linha de centro (isto é, a(x) ao longo do eixo x).
  2. Desenvolver expressão para o gradiente de pressão ao longo dessa linha (isto é, \dfrac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}x} como função de x).
  3. Avaliar numericamente a pressão de saída p(L) dada p(0)=50\\ \mathrm{kPa}.

Passo 2

Entendendo a aceleração de uma partícula fluida (noção e fórmula usada).
  • Em mecânica dos fluidos, a aceleração material de uma partícula que se move com o fluido é o derivado total (material) da velocidade: \displaystyle \frac{\mathrm{D}u}{\mathrm{D}t}=\frac{\partial u}{\partial t}+u\frac{\partial u}{\partial x}.
  • Aqui o escoamento é permanente (regime estacionário), logo \displaystyle \frac{\partial u}{\partial t}=0. Assim a aceleração ao longo da linha de centro reduz-se a
\displaystyle a(x)=\frac{\mathrm{D}u}{\mathrm{D}t}=u\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}.
  • Agora calculo \dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x} a partir de \displaystyle u(x)=U e^{-x/L}:
\displaystyle \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}=U\cdot\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\big(e^{-x/L}\big)=U\left(-\frac{1}{L}\right)e^{-x/L}=-\frac{U}{L}e^{-x/L}.
  • Como u(x)=U e^{-x/L}, pode-se notar também que \dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}=-\dfrac{u(x)}{L}.
  • Portanto a aceleração é
\displaystyle a(x)=u(x)\cdot\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}=u(x)\left(-\frac{u(x)}{L}\right)=-\frac{u(x)^2}{L}.
  • Substituindo u(x)=U e^{-x/L} em forma explícita obtemos
\displaystyle a(x)=-\frac{U^2}{L}e^{-2x/L}.
Observação física breve: o sinal negativo indica desaceleração ao longo de x (a velocidade diminui para x maiores porque há retirada de massa pela parede porosa).

Passo 3

Equação de momento (Euler) e relação entre aceleração e gradiente de pressão.
  • Para fluido incompressível, invíscido e em regime estacionário, a equação de Euler unidimensional ao longo da direção x (sem componente de gravidade na direção do escoamento, pois o tubo é horizontal) é
\displaystyle \rho\,u\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}=-\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}x}.
Aqui \rho é a massa específica, u a velocidade axial e p a pressão ao longo do eixo.
  • Isolando o gradiente de pressão:
\displaystyle \frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}x}=-\rho\,u\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}.
  • Usando \dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}=-\dfrac{u}{L} obtemos
\displaystyle \frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}x}=-\rho\,u\left(-\frac{u}{L}\right)=\rho\frac{u^2}{L}.
  • Escrevendo explicitamente em função de x com u(x)=U e^{-x/L}:
\displaystyle \frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}x}=\rho\frac{U^2}{L}e^{-2x/L}.
Nota sobre o sinal: \dfrac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}x}>0 indica que a pressão aumenta no sentido positivo de x (isto é, a pressão sobe à medida que o fluido desacelera porque parte do momento é extraída pela parede porosa).

Passo 4

Integração do gradiente para obter p(x) e cálculo numérico de p(L).
  • Integro \dfrac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}x}=\rho\dfrac{U^2}{L}e^{-2x/L} entre x=0 e x:
\displaystyle p(x)-p(0)=\int_{0}^{x}\rho\frac{U^2}{L}e^{-2\xi/L}\,\mathrm{d}\xi
(uso \xi como variável de integração para evitar confusão).
  • Calculo da integral:
\displaystyle \int_{0}^{x}e^{-2\xi/L}\,\mathrm{d}\xi=\left[-\frac{L}{2}e^{-2\xi/L}\right]_{0}^{x}=-\frac{L}{2}\big(e^{-2x/L}-1\big)=\frac{L}{2}\big(1-e^{-2x/L}\big).
  • Substituindo no termo de pressão:
\displaystyle p(x)-p(0)=\rho\frac{U^2}{L}\cdot\frac{L}{2}\big(1-e^{-2x/L}\big)=\frac{\rho U^2}{2}\big(1-e^{-2x/L}\big).
  • Logo a expressão geral é
\displaystyle p(x)=p(0)+\frac{\rho U^2}{2}\big(1-e^{-2x/L}\big).
  • Para a pressão de saída, tomo x=L:
\displaystyle p(L)=p(0)+\frac{\rho U^2}{2}\big(1-e^{-2}\big).
  • Agora avalio numericamente com \rho=900\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3, U=20\\ \mathrm{m}/\mathrm{s} e p(0)=50\\ \mathrm{kPa}:
\displaystyle \frac{\rho U^2}{2}=\frac{900\cdot 20^2}{2}=\frac{900\cdot 400}{2}=900\cdot 200=180000\\ \mathrm{Pa}=180\\ \mathrm{kPa}.
\displaystyle 1-e^{-2}\approx 1-0,1353352832=0,8646647168.
\displaystyle \Delta p \equiv \frac{\rho U^2}{2}\big(1-e^{-2}\big)=180\\ \mathrm{kPa}\times 0,8646647168\approx155,64\\ \mathrm{kPa}.
\displaystyle p(L)=50\\ \mathrm{kPa}+155,64\\ \mathrm{kPa}=205,64\\ \mathrm{kPa}.
(Apresentado em pressão manométrica, na mesma referência dada no enunciado.)

Passo 5

Resumo físico e dicas para prova (rápido e confortante):
  • A aceleração material para escoamento unidimensional e estacionário é sempre a=u\,\mathrm{d}u/\mathrm{d}x. Aqui a retirada de massa pela parede causou \mathrm{d}u/\mathrm{d}x<0 e, portanto, desaceleração.
  • Para fluido invíscido use a equação de Euler \rho u\,\mathrm{d}u/\mathrm{d}x=-\mathrm{d}p/\mathrm{d}x (se tubo horizontal, não entra termo de gravidade axial). Essa é a forma que liga aceleração à variação de pressão; integre para obter p(x).
  • Na prova: identifique se o escoamento é estacionário e invíscido; calcule \mathrm{d}u/\mathrm{d}x e aplique Euler — passo a passo isso salva tempo e evita erros.

Resposta

\displaystyle a(x)=-\frac{U^2}{L}e^{-2x/L}\newline
\displaystyle \frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}x}=\rho\frac{U^2}{L}e^{-2x/L}\newline
\displaystyle p(L)=205{,}64\\ \mathrm{kPa}

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