Questão 2. (Peso: 35%) Considere o escoamento bi-dimensional, incompressível, em regime permanente entre duas placas planas paralelas, a uma distância 2 h uma da outra. As placas estão em repouso em relação a um referencial fixo. Assumindo escoamento paralelo e desconsiderando forças de campo:
(a) derive as equações simplificadas da continuidade e de Navier-Stokes para o escoamento completamente desenvolvido entre as placas;
(b) determine uma expressão para o perfil de velocidade entre as placas.
(a) derive as equações simplificadas da continuidade e de Navier-Stokes para o escoamento completamente desenvolvido entre as placas;
(b) determine uma expressão para o perfil de velocidade entre as placas.
Passo 1
O enunciado descreve um escoamento bidimensional incompressível e permanente entre duas placas paralelas separadas por
. As placas estão em repouso e não há forças de corpo. Vamos usar as equações da continuidade e de Navier–Stokes para um escoamento paralelo e completamente desenvolvido, e então determinar o perfil de velocidade.
Passo 2
Assumimos escoamento paralelo e totalmente desenvolvido, isto é,
,
com e
.
A equação de continuidade
com
A equação de continuidade
torna-se
As equações de Navier–Stokes em regime permanente, sem forças de corpo, são
Como
,
e
, temos
Passo 3
Da equação de momento na direção
simplificada,
integramos duas vezes em
para obter a solução geral
onde
e
são constantes de integração.
Passo 4
Impondo as condições de não-deslizamento nas placas em
,
Somando e subtraindo, conclui-se
e
Passo 5
Substituindo
e
na solução geral, chega-se ao perfil de velocidade
Resposta
(a) Continuidade simplificada:
Equações de Navier–Stokes simplificadas:
(b) Perfil de velocidade entre as placas: