Questão 2. (Peso: 35%) Considere o escoamento bi-dimensional, incompressível, em regime permanente entre duas placas planas paralelas, a uma distância 2 h uma da outra. As placas estão em repouso em relação a um referencial fixo. Assumindo escoamento paralelo e desconsiderando forças de campo:
(a) derive as equações simplificadas da continuidade e de Navier-Stokes para o escoamento completamente desenvolvido entre as placas;
(b) determine uma expressão para o perfil de velocidade entre as placas.

Passo 1

O enunciado descreve um escoamento bidimensional incompressível e permanente entre duas placas paralelas separadas por 2h. As placas estão em repouso e não há forças de corpo. Vamos usar as equações da continuidade e de Navier–Stokes para um escoamento paralelo e completamente desenvolvido, e então determinar o perfil de velocidade.

Passo 2

Assumimos escoamento paralelo e totalmente desenvolvido, isto é,
\vec v=(u(y),0),
com \partial u/\partial x=0 e v=0.
A equação de continuidade
\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}=0
torna-se
0+0=0.
As equações de Navier–Stokes em regime permanente, sem forças de corpo, são
\rho\bigl(u\,\partial_x u + v\,\partial_y u\bigr) = -\frac{\partial p}{\partial x} + \mu\bigl(\partial^2_x u + \partial^2_y u\bigr),
\rho\bigl(u\,\partial_x v + v\,\partial_y v\bigr) = -\frac{\partial p}{\partial y} + \mu\bigl(\partial^2_x v + \partial^2_y v\bigr).
Como \partial_x u=0, v=0 e \partial_x v=0, temos
\frac{\partial p}{\partial y}=0 \quad\text{e}\quad 0=-\frac{\partial p}{\partial x}+\mu\,\frac{d^2u}{dy^2}.

Passo 3

Da equação de momento na direção x simplificada,
\mu\frac{d^2u}{dy^2} = \frac{\partial p}{\partial x},
integramos duas vezes em y para obter a solução geral
u(y) = \frac{1}{2\mu}\,\frac{\partial p}{\partial x}\,y^2 + C_{1}\,y + C_{2},
onde C_{1} e C_{2} são constantes de integração.

Passo 4

Impondo as condições de não-deslizamento nas placas em y= \pm h,
u(h)=0,\quad u(-h)=0, obtemos o sistema \frac{1}{2\mu}\frac{\partial p}{\partial x}h^{2} + C_{1}h + C_{2}=0,
\frac{1}{2\mu}\frac{\partial p}{\partial x}h^{2} - C_{1}h + C_{2}=0.
Somando e subtraindo, conclui-se C_{1}=0 e
C_{2}=-\frac{1}{2\mu}\frac{\partial p}{\partial x}\,h^{2}.

Passo 5

Substituindo C_{1} e C_{2} na solução geral, chega-se ao perfil de velocidade
u(y) = \frac{1}{2\mu}\,\frac{\partial p}{\partial x}\,\bigl(y^2 - h^2\bigr).

Resposta

(a) Continuidade simplificada:
\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} = 0.
Equações de Navier–Stokes simplificadas:
\frac{\partial p}{\partial y}=0, \quad \mu\,\frac{d^2u}{dy^2} = \frac{\partial p}{\partial x}.
(b) Perfil de velocidade entre as placas:
u(y) = \frac{1}{2\mu}\,\frac{\partial p}{\partial x}\,\bigl(y^2 - h^2\bigr).

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