Questão 3. (Peso: 30%) O aumento da pressão no escoamento de um líquido através de uma expansão abrupta pode ser expressa por
\Delta p=f\left(A_{1}, A_{2}, \rho, V_{1}\right),
onde A_{1} e A_{2} são as áreas a montante e a jusante da expansão respectivamente, \rho é a massa específica do fluido e V_{1} é a velocidade média do escoamento a montante da expansão. A próxima tabela apresenta alguns dados experimentais obtidos com A_{2}=0,116 \mathrm{~m}^{2}, \rho=1000 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} e V_{1}=1,52 \mathrm{~m} / \mathrm{s}.
A_{1}\left(\mathrm{~m}^{2}\right) \Delta p(\mathrm{kPa})
0,0093 1,56
0,0232 3,76
0,03437 4,93
0,0483 5,55
0,057 5,89
A partir dos dados coletados, determine o aumento de pressão no escoamento para o caso onde A_{1} / A_{2}=0,35 e V_{1}=1,14 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, \rho=1000 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}.

Passo 1

O enunciado nos dá a variação de pressão \Delta p=f(A_1,A_2,\rho,V_1) num escoamento com expansão abrupta, e fornece uma tabela experimental para A_2=0,116,m², \rho=1000,kg/m³ e V_1=1,52,m/s:
\begin{array}{c|c} A_1\\ (\mathrm{m}^2)&\Delta p\\ (\mathrm{kPa})\\hline 0,0093&1,56\\\\ 0,0232&3,76\\\\ 0,03437&4,93\\\\ 0,0483&5,55\\\\ 0,057&5,89 \end{array}
Queremos \Delta p quando A_1/A_2=0,35, V_1=1,14,m/s e mantida \rho=1000,kg/m³. Para isso vamos:
  1. calcular A_1 correspondente;
  2. interpolar \Delta p para V_1=1,52,m/s;
  3. usar a semelhança dinâmica \Delta p\propto V_1^2 para ajustar à nova velocidade.

Passo 2

Calculamos a nova área a montante:
A_1 = 0,35\times A_2 = 0,35\times0,116 = 0,0406\\ \mathrm{m}^2.

Passo 3

Para V_1=1,52,m/s, interpolamos linearmente entre A_1=0,03437 ( \Delta p=4,93) e A_1=0,0483 ( \Delta p=5,55). Definindo
\lambda = \frac{0,0406 - 0,03437}{0,0483 - 0,03437} \approx \frac{0,00623}{0,01393}\approx0,447,
temos
\Delta p_{1,52} =4,93 + 0,447\times(5,55-4,93) \approx4,93 +0,277 =5,21\\ \mathrm{kPa}.

Passo 4

Pela semelhança dinâmica num escoamento incompressível, \Delta p\propto V_1^2. Assim, para V_1=1,14,m/s:
\Delta p_{1,14} =\Delta p_{1,52}\,\Bigl(\frac{1,14}{1,52}\Bigr)^{2} =5,21\times\Bigl(\frac{1,14}{1,52}\Bigr)^{2} \approx5,21\times0,562 \approx2,93\\ \mathrm{kPa}.

Resposta

O aumento de pressão para A_1/A_2=0,35, V_1=1,14,m/s e \rho=1000,kg/m³ é aproximadamente 2,93,kPa.

Exercícios relacionados