Questão 1 (peso 2,5) - Uma grande placa de aluminio inicialmente à 200^{\circ} \mathrm{C}, sofre um resfriamento instantlaneo que

reduz a temperatura da sua superfície para 30^{\circ} \mathrm{C}. Qual o intervalo de tempo necessário para que um ponto interno a 4,0 cm da sua superfície atinja a temperatura de 100^{\circ} \mathrm{C} ? Dados: \alpha=8,4 \times 10^{-5} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s} \mathrm{ek}=215 \mathrm{~W} / \mathrm{m} .^{\circ} \mathrm{C}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede.
  • Condições iniciais e do problema (pego do enunciado):
    • Temperatura inicial da placa: T_i=200^\circ\mathrm{C}.
    • Temperatura da superfície após o choque térmico (de forma instantânea): T_s=30^\circ\mathrm{C}.
    • Temperatura desejada no ponto interno: T(x,t)=100^\circ\mathrm{C}.
    • Distância do ponto à superfície: x=4{,}0\\ \mathrm{cm}=0{,}040\\ \mathrm{m}.
    • Difusividade térmica: \alpha=8{,}4\times10^{-5}\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{s}.
    • Condutividade térmica (fornecida): k=215\\ \mathrm{W}/(\mathrm{m}\cdot{}^\circ\mathrm{C}).
  • O que o enunciado pede:
    • Calcular o intervalo de tempo t necessário para que o ponto a x=0{,}040\\ \mathrm{m} atinja 100^\circ\mathrm{C}.

Passo 2

Modelo físico e fórmula que vamos usar (aula rápida e prática).
Quando uma semi‑infinita massa homogênea (uma “placa grande” suficientemente espessa) tem sua superfície instantaneamente levada a uma nova temperatura constante T_s, a solução da equação do calor para a temperatura em profundidade x e tempo t é dada pela função erro (erf):
T(x,t)=T_s+(T_i-T_s)\,\operatorname{erf}\!\left(\frac{x}{2\sqrt{\alpha t}}\right).
Explicando cada item:
  • T(x,t) é a temperatura no ponto a distância x da superfície no instante t.
  • T_s é a temperatura mantida na superfície a partir de t=0.
  • T_i é a temperatura inicial do corpo (antes do resfriamento).
  • \alpha é a difusividade térmica ( \mathrm{m}^2/\mathrm{s}); ela mede a facilidade com que calor se difunde no material.
  • \operatorname{erf}(z) é a função erro, definida por \operatorname{erf}(z)=\dfrac{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^{z} e^{-u^2}\,du. É uma função que aparece naturalmente em soluções de difusão/transiente.
    Motivo do uso: o enunciado fala de resfriamento instantâneo da superfície e quer a temperatura a uma certa profundidade no tempo — exatamente o caso clássico para o qual a solução com \operatorname{erf} vale.

Passo 3

Substituir os dados na fórmula e isolar a função erro.
Primeiro escrevo a razão normalizada entre a diferença de temperaturas:
\frac{T(x,t)-T_s}{T_i-T_s}=\operatorname{erf}\!\left(\frac{x}{2\sqrt{\alpha t}}\right).
Substituo T(x,t)=100^\circ\mathrm{C}, T_s=30^\circ\mathrm{C}, T_i=200^\circ\mathrm{C}:
\frac{100-30}{200-30}=\operatorname{erf}\!\left(\frac{x}{2\sqrt{\alpha t}}\right).
Calculo o numerador e denominador:
\frac{70}{170}=0{,}4117647\ldots
Então temos
\operatorname{erf}\!\left(\frac{x}{2\sqrt{\alpha t}}\right)=0{,}4117647\ldots

Passo 4

Encontrar o argumento da função erro (inversa da erf).
Denoto
\eta=\frac{x}{2\sqrt{\alpha t}}, \qquad\text{portanto}\qquad \operatorname{erf}(\eta)=0{,}4117647\ldots
Logo \eta=\operatorname{erf}^{-1}(0{,}4117647\ldots).
Como \operatorname{erf}^{-1} não é uma expressão elementar, usa‑se tabela de \operatorname{erf} ou calculadora científica. Vou fazer uma interpolação simples em valores de tabela conhecidos (procedimento que dá um valor suficientemente preciso para prova sem calculadora avançada):
Valores típicos da função erro (tabela):
  • \operatorname{erf}(0{,}38)\approx 0{,}4090.
  • \operatorname{erf}(0{,}39)\approx 0{,}4207.
Nosso valor 0{,}4117647 está entre esses dois. Faço interpolação linear:
diferença entre os valores de erf na faixa é 0{,}4207-0{,}4090=0{,}0117.
Nossa posição relativa dentro da faixa é
\frac{0{,}4117647-0{,}4090}{0{,}0117}\approx\frac{0{,}0027647}{0{,}0117}\approx0{,}2364.
Portanto \eta fica aproximadamente
\eta \approx 0{,}38 + 0{,}2364\times(0{,}39-0{,}38)\approx 0{,}38+0{,}00236\approx 0{,}3824.
Assim, tomo
\eta\approx 0{,}3824.
(Dica prática para prova: se tiver tabela da erf, procure o valor normalizado e leia a abscissa; se só tiver calculadora, muitas têm a função \operatorname{erf}^{-1}. A interpolação linear entre entradas próximas costuma ser suficiente.)

Passo 5

Relacionar \eta com t e isolar t.
Pela definição de \eta:
\eta=\frac{x}{2\sqrt{\alpha t}}
isolo \sqrt{\alpha t}:
\sqrt{\alpha t}=\frac{x}{2\eta}.
Elevando ao quadrado e isolando t:
\alpha t=\frac{x^2}{4\eta^2} \qquad\Rightarrow\qquad t=\frac{x^2}{4\alpha\,\eta^2}.

Passo 6

Substituir valores numéricos e calcular passo a passo.
Dados: x=0{,}040\\ \mathrm{m}, \alpha=8{,}4\times10^{-5}\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{s}, \eta\approx0{,}3824.
Calculo x^2:
x^2=(0{,}040)^2=0{,}0016\\ \mathrm{m}^2.
Calculo \eta^2:
\eta^2\approx(0{,}3824)^2\approx0{,}1462.
Calculo o denominador 4\alpha\eta^2:
4\alpha\eta^2=4\times(8{,}4\times10^{-5})\times0{,}1462 =3{,}36\times10^{-4}\times0{,}1462 \approx4{,}913\times10^{-5}\\ \mathrm{s}^{-1}.
Finalmente,
t=\frac{0{,}0016}{4{,}913\times10^{-5}}\approx32{,}6\\ \mathrm{s}.

Passo 7

Interpretação final e checagem rápida.
O tempo calculado t\approx32{,}6\\ \mathrm{s} significa que, após cerca de meia minuto, o ponto a 4{,}0\\ \mathrm{cm} terá se resfriado de 200^\circ\mathrm{C} até 100^\circ\mathrm{C} quando a superfície foi instantaneamente reduzida a 30^\circ\mathrm{C}. O resultado tem ordem de grandeza plausível: materiais com \alpha da ordem 10^{-5}\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{s} difundem calor relativamente rápido em distâncias de centímetros numa escala de dezenas de segundos.
Força aí — dá pra resolver esse tipo de problema na prova: reconhecer o caso semi‑infinito e usar a solução com \operatorname{erf}, depois achar a inversa (tabela/interpolação) e isolar t.

Resposta

t\approx32{,}6\\ \mathrm{s}

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