Questão 1 (peso 2,5) - Uma grande placa de aluminio inicialmente à
, sofre um resfriamento instantlaneo que
reduz a temperatura da sua superfície para
. Qual o intervalo de tempo necessário para que um ponto interno a 4,0 cm da sua superfície atinja a temperatura de
? Dados:
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede.
-
Condições iniciais e do problema (pego do enunciado):
- Temperatura inicial da placa:
. - Temperatura da superfície após o choque térmico (de forma instantânea):
. - Temperatura desejada no ponto interno:
. - Distância do ponto à superfície:
. - Difusividade térmica:
. - Condutividade térmica (fornecida):
.
- Temperatura inicial da placa:
-
O que o enunciado pede:
- Calcular o intervalo de tempo
necessário para que o ponto a atinja .
- Calcular o intervalo de tempo
Passo 2
Modelo físico e fórmula que vamos usar (aula rápida e prática).
Quando uma semi‑infinita massa homogênea (uma “placa grande” suficientemente espessa) tem sua superfície instantaneamente levada a uma nova temperatura constante
, a solução da equação do calor para a temperatura em profundidade
e tempo
é dada pela função erro (erf):
Explicando cada item:
-
é a temperatura no ponto a distância da superfície no instante . -
é a temperatura mantida na superfície a partir de . -
é a temperatura inicial do corpo (antes do resfriamento). -
é a difusividade térmica ( ); ela mede a facilidade com que calor se difunde no material. -
é a função erro, definida por . É uma função que aparece naturalmente em soluções de difusão/transiente.
Motivo do uso: o enunciado fala de resfriamento instantâneo da superfície e quer a temperatura a uma certa profundidade no tempo — exatamente o caso clássico para o qual a solução comvale.
Passo 3
Substituir os dados na fórmula e isolar a função erro.
Primeiro escrevo a razão normalizada entre a diferença de temperaturas:
Substituo
,
,
:
Calculo o numerador e denominador:
Então temos
Passo 4
Encontrar o argumento da função erro (inversa da erf).
Denoto
Logo
.
Como
não é uma expressão elementar, usa‑se tabela de
ou calculadora científica. Vou fazer uma interpolação simples em valores de tabela conhecidos (procedimento que dá um valor suficientemente preciso para prova sem calculadora avançada):
Valores típicos da função erro (tabela):
-
. -
.
Nosso valor
está entre esses dois. Faço interpolação linear:
diferença entre os valores de erf na faixa é .
Nossa posição relativa dentro da faixa é
diferença entre os valores de erf na faixa é
Nossa posição relativa dentro da faixa é
Portanto
fica aproximadamente
Assim, tomo
(Dica prática para prova: se tiver tabela da erf, procure o valor normalizado e leia a abscissa; se só tiver calculadora, muitas têm a função
. A interpolação linear entre entradas próximas costuma ser suficiente.)
Passo 5
Relacionar
com
e isolar
.
Pela definição de
:
isolo
:
Elevando ao quadrado e isolando
:
Passo 6
Substituir valores numéricos e calcular passo a passo.
Dados:
,
,
.
Calculo
:
Calculo
:
Calculo o denominador
:
Finalmente,
Passo 7
Interpretação final e checagem rápida.
O tempo calculado
significa que, após cerca de meia minuto, o ponto a
terá se resfriado de
até
quando a superfície foi instantaneamente reduzida a
. O resultado tem ordem de grandeza plausível: materiais com
da ordem
difundem calor relativamente rápido em distâncias de centímetros numa escala de dezenas de segundos.
Força aí — dá pra resolver esse tipo de problema na prova: reconhecer o caso semi‑infinito e usar a solução com
, depois achar a inversa (tabela/interpolação) e isolar
.