Em uma tubulação horizontal, a água escoa de um ponto 1 para um ponto 2 . No ponto 1 , a velocidade da água é 2 \mathrm{~m} / \mathrm{s} e a pressão é 300 kPa . No ponto 2 , a pressäd 200 kPa . Calcule a velocidade da água no ponto 2 , considerando a massa específica da água igual a 1000 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}. Resposta: 14,28 \mathrm{~m} / \mathrm{s}

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede a velocidade em 2:
  • Velocidade no ponto 1: v_1 = 2\\ \mathrm{m/s}.
  • Pressão no ponto 1: p_1 = 300\\ \mathrm{kPa}.
  • Pressão no ponto 2: p_2 = 200\\ \mathrm{kPa}.
  • Massa específica da água: \rho = 1000\\ \mathrm{kg/m^3}.
    O que se pede: calcular a velocidade da água no ponto 2, v_2.

Passo 2

Apresentar a equação que vamos usar (Bernoulli para fluido incompressível, escoamento estacionário, sem perdas ao longo de uma mesma linha de corrente):
p + \tfrac{1}{2}\rho v^2 + \rho g z = \text{constante}.
Explicando cada termo:
  • p é a pressão (em Pa).
  • \rho é a massa específica (em \mathrm{kg/m^3}).
  • v é a velocidade do fluido (em \mathrm{m/s}).
  • g é a aceleração da gravidade (em \mathrm{m/s^2}).
  • z é a cota (altura) do ponto (em m).
    A equação diz que soma da energia por unidade de volume (pressão) mais energia cinética por unidade de volume mais energia potencial por unidade de volume é constante ao longo da linha de corrente.

Passo 3

Como a tubulação é horizontal, as cotas são iguais: z_1 = z_2. Portanto o termo \rho g z cancela entre os pontos 1 e 2 e a forma reduzida da equação de Bernoulli fica:
p_1 + \tfrac{1}{2}\rho v_1^2 = p_2 + \tfrac{1}{2}\rho v_2^2.
Essa equação relaciona pressões e velocidades nos dois pontos quando não há troca de altura e desprezam-se perdas por atrito.

Passo 4

Isolar v_2 na equação acima:
\tfrac{1}{2}\rho v_2^2 = \tfrac{1}{2}\rho v_1^2 + (p_1 - p_2)
v_2^2 = v_1^2 + \dfrac{2(p_1 - p_2)}{\rho}
v_2 = \sqrt{\,v_1^2 + \dfrac{2(p_1 - p_2)}{\rho}\,}.
Aqui foi feita apenas álgebra elementar: multiplicar por 2/\rho e extrair a raiz quadrada.

Passo 5

Substituir os valores numéricos. Primeiro converter kPa para Pa (1 kPa = 1000 Pa):
p_1 = 300\\ \mathrm{kPa} = 300000\\ \mathrm{Pa}, \qquad p_2 = 200\\ \mathrm{kPa} = 200000\\ \mathrm{Pa}.
Logo a diferença de pressão é
p_1 - p_2 = 100\\ \mathrm{kPa} = 100000\\ \mathrm{Pa}.
Substituindo em v_2:
v_2 = \sqrt{\,v_1^2 + \dfrac{2\cdot 100000}{1000}\,} = \sqrt{\,2^2 + \dfrac{200000}{1000}\,} = \sqrt{\,4 + 200\,} = \sqrt{204}.

Passo 6

Calcular a raiz quadrada e arredondar com cuidado (sem calculadora dá para estimar: \sqrt{196}=14 e \sqrt{225}=15, então o resultado ficará entre 14 e 15):
v_2 = \sqrt{204} \approx 14,282857\ldots\\ \mathrm{m/s}.
Arredondando para duas casas decimais:
v_2 \approx 14,28\\ \mathrm{m/s}.

Passo 7

Verificação rápida de sensibilidade e hipóteses: o aumento de velocidade faz sentido porque a pressão em 2 é menor; a diferença de pressão de 100\\ \mathrm{kPa} é suficiente para acelerar a água de 2\\ \mathrm{m/s} para cerca de 14\\ \mathrm{m/s}. As hipóteses usadas (fluido incompressível, escoamento estacionário, sem perdas) são usuais em problemas básicos — em tubos reais perdas por atrito reduziríam um pouco essa velocidade.

Resposta

14,28\\ \mathrm{m/s}

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