Exercício 2. Calcule as derivadas parciais de primeira ordem frac{\partial f}{\partial x} e frac{\partial f}{\partial y} :
f(x, y)=e^{x y} \ln y

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de primeira ordem \dfrac{\partial f}{\partial x} e \dfrac{\partial f}{\partial y} da função
f(x,y)=e^{x y}\ln y.
Informações importantes que o enunciado dá:
  • A função é f(x,y)=e^{x y}\ln y.
  • A função envolve \ln y, logo o domínio natural exige y>0.
    As perguntas são: calcular explicitamente \dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y) e \dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y) (para y>0).

Passo 2

O que é a derivada parcial na prática (intuição e definição usada): a derivada parcial em relação a x mede a taxa de variação de f quando só x muda e y fica fixo. Formalmente,
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h}.
Analogamente, a derivada parcial em relação a y é
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x,y+h)-f(x,y)}{h}.
Na prática de prova usamos estas definições junto com regras de derivação (produto, cadeia) tratando a outra variável como constante.

Passo 3

Regras de derivação que vamos usar (explicadas de forma simples):
  • Regra do produto: se g(x,y)=u(x,y)\,v(x,y) então, derivando em relação a x (com y constante),
\frac{\partial}{\partial x}(u v)=\frac{\partial u}{\partial x}\,v + u\,\frac{\partial v}{\partial x}.
O mesmo vale trocando x por y para \partial/\partial y.
  • Regra da cadeia para exponencial: se u(x,y) é uma função, então
\frac{\partial}{\partial x}e^{u(x,y)}=e^{u(x,y)}\cdot\frac{\partial u}{\partial x},
porque a derivada de e^{t} em t é e^{t}.
  • Derivada do logaritmo: para y>0,
\frac{d}{dy}\ln y=\frac{1}{y}.
No nosso caso note que \ln y depende só de y, então ao derivar em relação a x ela se comporta como constante.

Passo 4

Cálculo de \dfrac{\partial f}{\partial x} (passo a passo):
  • Escrever f como produto onde uma parte é constante em relação a x:
f(x,y)=\bigl(e^{x y}\bigr)\bigl(\ln y\bigr).
Aqui, ao derivar em relação a x, \ln y é constante (porque não depende de x).
  • Aplicar regra do produto (ou simplesmente fatorar a constante \ln y):
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\ln y\cdot\frac{\partial}{\partial x}e^{x y}.
  • Agora usar a regra da cadeia em e^{x y}. O expoente é u(x,y)=x y. Como y é tratado como constante,
\frac{\partial}{\partial x}(x y)=y.
Portanto
\frac{\partial}{\partial x}e^{x y}=e^{x y}\cdot y.
  • Substituindo:
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\ln y\cdot\bigl(y e^{x y}\bigr)=y e^{x y}\ln y.

Passo 5

Cálculo de \dfrac{\partial f}{\partial y} (passo a passo):
  • Agora ambas as partes dependem de y: e^{x y} depende de y (via x y) e \ln y também. Então aplicamos a regra do produto:
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}e^{x y}\cdot\ln y + e^{x y}\cdot\frac{\partial}{\partial y}\ln y.
  • Calcular \dfrac{\partial}{\partial y}e^{x y}: usar regra da cadeia com u(x,y)=x y. Agora \dfrac{\partial}{\partial y}(x y)=x (pois x é constante ao derivar em relação a y). Assim
\frac{\partial}{\partial y}e^{x y}=e^{x y}\cdot x.
  • Calcular \dfrac{\partial}{\partial y}\ln y=\dfrac{1}{y}.
  • Substituindo na fórmula do produto:
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=(x e^{x y})\ln y + e^{x y}\cdot\frac{1}{y}.
  • Podemos fatorar e^{x y} para simplificar a forma:
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=e^{x y}\!\left(x\ln y+\frac{1}{y}\right).

Passo 6

Domínio e observações finais:
  • As expressões encontradas são válidas para todo x\in\mathbb{R} e y>0 (porque \ln y exige y>0 e aparece nas fórmulas).
  • A função é diferenciável (infinitamente suave) no domínio y>0, então as derivadas parciais estão bem definidas ali.

Passo 7

Exemplo numérico curto para sentir o resultado (opcional, só para treinar):
  • Para (x,y)=(0,1) (note y=1>0 e \ln 1=0):
\frac{\partial f}{\partial x}(0,1)=1\cdot e^{0}\cdot 0=0, \qquad \frac{\partial f}{\partial y}(0,1)=e^{0}\!\left(0\cdot 0 + \frac{1}{1}\right)=1.
Isto confirma que as fórmulas funcionam em pontos simples.

Resposta

\dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y)=y e^{x y}\ln y
\dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y)=e^{x y}\!\left(x\ln y+\dfrac{1}{y}\right)

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