Exercício 2. Calcule as derivadas parciais de primeira ordem
e
:
Passo 1
O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de primeira ordem
e
da função
Informações importantes que o enunciado dá:
- A função é
. - A função envolve
, logo o domínio natural exige .
As perguntas são: calcular explicitamentee (para ).
Passo 2
O que é a derivada parcial na prática (intuição e definição usada): a derivada parcial em relação a
mede a taxa de variação de
quando só
muda e
fica fixo. Formalmente,
Analogamente, a derivada parcial em relação a
é
Na prática de prova usamos estas definições junto com regras de derivação (produto, cadeia) tratando a outra variável como constante.
Passo 3
Regras de derivação que vamos usar (explicadas de forma simples):
- Regra do produto: se
então, derivando em relação a (com constante),
O mesmo vale trocando
por
para
.
- Regra da cadeia para exponencial: se
é uma função, então
porque a derivada de
em
é
.
- Derivada do logaritmo: para
,
No nosso caso note que
depende só de
, então ao derivar em relação a
ela se comporta como constante.
Passo 4
Cálculo de
(passo a passo):
- Escrever
como produto onde uma parte é constante em relação a :
Aqui, ao derivar em relação a
,
é constante (porque não depende de
).
- Aplicar regra do produto (ou simplesmente fatorar a constante
):
- Agora usar a regra da cadeia em
. O expoente é . Como é tratado como constante,
Portanto
- Substituindo:
Passo 5
Cálculo de
(passo a passo):
- Agora ambas as partes dependem de
: depende de (via ) e também. Então aplicamos a regra do produto:
- Calcular
: usar regra da cadeia com . Agora (pois é constante ao derivar em relação a ). Assim
- Calcular
. - Substituindo na fórmula do produto:
- Podemos fatorar
para simplificar a forma:
Passo 6
Domínio e observações finais:
- As expressões encontradas são válidas para todo
e (porque exige e aparece nas fórmulas). - A função é diferenciável (infinitamente suave) no domínio
, então as derivadas parciais estão bem definidas ali.
Passo 7
Exemplo numérico curto para sentir o resultado (opcional, só para treinar):
- Para
(note e ):
Isto confirma que as fórmulas funcionam em pontos simples.