Questão 2. No plano x y, considere a região R descrita em coordenadas polares por
1 \leq r \leq 2, \quad 0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{4}
Calcule
\iint_{R} x y d A
O valor da integral é:
(a) \frac{15}{16}
(b) \frac{15}{32}(2+\pi)
(c) \frac{15}{32}(\pi-2)
(d) \frac{15}{32}(3 \pi-2)
(e) Nenhuma das alternativas anteriores.

Passo 1

O enunciado dá a região R no plano xy descrita em coordenadas polares por
1 \leq r \leq 2,\qquad 0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{4}.
Pede-se calcular a integral dupla
\iint_{R} x y\, dA.
Resumo das informações relevantes:
  • A região R é o setor circular entre os raios r=1 e r=2 e ângulos \theta entre 0 e \pi/4.
  • O integrando é x y.
  • Quer-se o valor numérico da integral dupla sobre R.

Passo 2

Vamos mudar para coordenadas polares porque a região está dada naturalmente em r e \theta (isso costuma simplificar muito). Lembrete das fórmulas de conversão e do elemento de área em polares:
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,
e o elemento de área transforma como
dA = r\,dr\,d\theta.
Explicação rápida do dA=r\,dr\,d\theta: um pequeno retângulo em coordenadas polares tem lados aproximadamente dr e r\,d\theta, então a área é dr\cdot (r\,d\theta)=r\,dr\,d\theta. Isso é o Jacobiano da transformação.

Passo 3

Substituímos x e y e dA na integral. O integrando x y vira
x y = (r\cos\theta)(r\sin\theta)=r^{2}\cos\theta\sin\theta.
Multiplicando por dA=r\,dr\,d\theta, o integrando completo em r,\theta é
r^{2}\cos\theta\sin\theta\cdot r = r^{3}\cos\theta\sin\theta.
Assim a integral sobre R fica
\iint_{R} x y\, dA = \int_{0}^{\pi/4}\int_{1}^{2} r^{3}\cos\theta\sin\theta\,dr\,d\theta.

Passo 4

Observação útil: a função integranda separa-se em produto de função de r por função de \theta:
r^{3}\cos\theta\sin\theta = \bigl(r^{3}\bigr)\bigl(\cos\theta\sin\theta\bigr).
Então podemos separar as integrais:
\int_{0}^{\pi/4}\int_{1}^{2} r^{3}\cos\theta\sin\theta\,dr\,d\theta = \Bigl(\int_{1}^{2} r^{3}\,dr\Bigr)\Bigl(\int_{0}^{\pi/4}\cos\theta\sin\theta\,d\theta\Bigr).
Agora calculamos cada uma.
Calculemos a integral em r:
\int_{1}^{2} r^{3}\,dr = \left[\frac{r^{4}}{4}\right]_{1}^{2}=\frac{2^{4}}{4}-\frac{1^{4}}{4}=\frac{16}{4}-\frac{1}{4}=\frac{15}{4}.

Passo 5

Agora a integral em \theta. Use a identidade \sin(2\theta)=2\sin\theta\cos\theta, portanto \sin\theta\cos\theta=\tfrac{1}{2}\sin(2\theta). Assim
\int_{0}^{\pi/4}\cos\theta\sin\theta\,d\theta = \frac{1}{2}\int_{0}^{\pi/4}\sin(2\theta)\,d\theta.
Calcule:
\int_{0}^{\pi/4}\sin(2\theta)\,d\theta=\left[-\frac{1}{2}\cos(2\theta)\right]_{0}^{\pi/4} = -\frac{1}{2}\bigl(\cos(\tfrac{\pi}{2})-\cos 0\bigr) = -\frac{1}{2}\bigl(0-1\bigr)=\frac{1}{2}.
Multiplicando por \tfrac{1}{2} obtemos
\int_{0}^{\pi/4}\cos\theta\sin\theta\,d\theta=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{4}.

Passo 6

Multiplicando os resultados das duas integrais:
\iint_{R} x y\, dA = \frac{15}{4}\cdot\frac{1}{4}=\frac{15}{16}.

Resposta

(a) \frac{15}{16}

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