Questão 2. No plano
, considere a região
descrita em coordenadas polares por
Calcule
O valor da integral é:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e) Nenhuma das alternativas anteriores.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e) Nenhuma das alternativas anteriores.
Passo 1
O enunciado dá a região
no plano
descrita em coordenadas polares por
Pede-se calcular a integral dupla
Resumo das informações relevantes:
- A região
é o setor circular entre os raios e e ângulos entre e . - O integrando é
. - Quer-se o valor numérico da integral dupla sobre
.
Passo 2
Vamos mudar para coordenadas polares porque a região está dada naturalmente em
e
(isso costuma simplificar muito). Lembrete das fórmulas de conversão e do elemento de área em polares:
e o elemento de área transforma como
Explicação rápida do
: um pequeno retângulo em coordenadas polares tem lados aproximadamente
e
, então a área é
. Isso é o Jacobiano da transformação.
Passo 3
Substituímos
e
e
na integral. O integrando
vira
Multiplicando por
, o integrando completo em
é
Assim a integral sobre
fica
Passo 4
Observação útil: a função integranda separa-se em produto de função de
por função de
:
Então podemos separar as integrais:
Agora calculamos cada uma.
Calculemos a integral em
:
Passo 5
Agora a integral em
. Use a identidade
, portanto
. Assim
Calcule:
Multiplicando por
obtemos
Passo 6
Multiplicando os resultados das duas integrais:
Resposta
(a)