Questão 1. Seja
o triângulo de vértices
e
. Calcule
onde
. O valor da integral é:
(a)
(b) 1
(c)
(d)
(e) Nenhuma das alternativas anteriores.
(a)
(b) 1
(c)
(d)
(e) Nenhuma das alternativas anteriores.
Passo 1
O enunciado dá:
- O triângulo
com vértices , e . - A função a integrar é
. - Pede o valor da integral dupla
. - As alternativas são:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e) Nenhuma das anteriores
Passo 2
Descrever bem a região
para poder escrever os limites de integração.
- O lado entre
e é uma reta. Calcular sua equação: a inclinação é Como a reta passa por , sua equação é - Geometricamente, para cada
entre e o valor de vai do eixo até a reta . Logo podemos descrever como
Comentário didático rápido (o que vamos usar): como
é contínua em
e
é uma região simples e limitada, podemos calcular a integral dupla como uma integral iterada (integrar primeiro em
e depois em
). A diferencial de área é
e, ao integrar iterativamente, usamos
quando integramos em
primeiro.
Passo 3
Escrever a integral iterada com os limites encontrados:
Passo 4
Calcular a integral interna (em relação a
). Primeiro, integrar a função
em
:
- A primitiva de
em é (porque é tratado como constante quando integramos em ). - A primitiva de
em é .
Portanto
Passo 5
Simplificar a expressão obtida:
- Desenvolver os termos:
- Somando:
Assim a integral dupla ficou
Passo 6
Calcular a integral externa:
- Encontrar a primitiva de
em : - Avaliar entre
e :
Passo 7
Verificação rápida de plausibilidade (checadinha): a área do triângulo
é
. Como a integral sobre
é
, o valor médio de
sobre
seria
, o que é razoável dado que
varia na região entre valores próximos de
e números da ordem de
.
Resposta
(a)