Questão 1. Seja D o triângulo de vértices (0,0),(2,0) e (0,1). Calcule
\iint_{D} f(x, y) d A
onde f(x, y)=x+2 y. O valor da integral é:
(a) \frac{4}{3}
(b) 1
(c) \frac{3}{2}
(d) \frac{5}{6}
(e) Nenhuma das alternativas anteriores.

Passo 1

O enunciado dá:
  • O triângulo D com vértices (0,0), (2,0) e (0,1).
  • A função a integrar é f(x,y)=x+2y.
  • Pede o valor da integral dupla \iint_{D} f(x,y)\,dA.
  • As alternativas são:
    (a) \dfrac{4}{3}
    (b) 1
    (c) \dfrac{3}{2}
    (d) \dfrac{5}{6}
    (e) Nenhuma das anteriores

Passo 2

Descrever bem a região D para poder escrever os limites de integração.
  • O lado entre (2,0) e (0,1) é uma reta. Calcular sua equação: a inclinação é m=\frac{1-0}{0-2}=\frac{1}{-2}=-\tfrac{1}{2}.Como a reta passa por (0,1), sua equação é y=-\tfrac{1}{2}x+1.
  • Geometricamente, para cada x entre 0 e 2 o valor de y vai do eixo y=0 até a reta y=1-\tfrac{x}{2}. Logo podemos descrever D como \{(x,y)\mid 0\le x\le 2,\; 0\le y\le 1-\tfrac{x}{2}\}.
Comentário didático rápido (o que vamos usar): como f é contínua em D e D é uma região simples e limitada, podemos calcular a integral dupla como uma integral iterada (integrar primeiro em y e depois em x). A diferencial de área é dA e, ao integrar iterativamente, usamos dA=dy\,dx quando integramos em y primeiro.

Passo 3

Escrever a integral iterada com os limites encontrados:
\iint_{D} (x+2y)\,dA = \int_{x=0}^{2}\left(\int_{y=0}^{\,1-\tfrac{x}{2}} (x+2y)\,dy\right)dx.

Passo 4

Calcular a integral interna (em relação a y). Primeiro, integrar a função x+2y em y:
  • A primitiva de x em y é x y (porque x é tratado como constante quando integramos em y).
  • A primitiva de 2y em y é y^{2}.
Portanto
\int_{y=0}^{\,1-\tfrac{x}{2}} (x+2y)\,dy = \left[ x y + y^{2} \right]_{y=0}^{y=1-\tfrac{x}{2}} = x\left(1-\tfrac{x}{2}\right)+\left(1-\tfrac{x}{2}\right)^{2}-\big(0+0\big).

Passo 5

Simplificar a expressão obtida:
  • Desenvolver os termos: x\left(1-\tfrac{x}{2}\right)=x-\tfrac{x^{2}}{2},
\left(1-\tfrac{x}{2}\right)^{2}=1- x + \tfrac{x^{2}}{4}.
  • Somando: x-\tfrac{x^{2}}{2}+1- x + \tfrac{x^{2}}{4} =1+\left(-\tfrac{x^{2}}{2}+\tfrac{x^{2}}{4}\right) =1-\tfrac{x^{2}}{4}.
Assim a integral dupla ficou
\int_{0}^{2}\left(1-\tfrac{x^{2}}{4}\right)dx.

Passo 6

Calcular a integral externa:
  • Encontrar a primitiva de 1-\tfrac{x^{2}}{4} em x: \int\left(1-\tfrac{x^{2}}{4}\right)dx = x - \tfrac{1}{4}\cdot\frac{x^{3}}{3} = x - \tfrac{x^{3}}{12}.
  • Avaliar entre 0 e 2: \left[x - \tfrac{x^{3}}{12}\right]_{0}^{2} =\left(2 - \tfrac{8}{12}\right)-0 =2 - \tfrac{2}{3} =\tfrac{6}{3}-\tfrac{2}{3} =\tfrac{4}{3}.

Passo 7

Verificação rápida de plausibilidade (checadinha): a área do triângulo D é \tfrac{1}{2}\cdot 2\cdot 1=1. Como a integral sobre D é \tfrac{4}{3}, o valor médio de f sobre D seria \tfrac{4}{3}, o que é razoável dado que f varia na região entre valores próximos de 0 e números da ordem de 1.

Resposta

(a) \dfrac{4}{3}

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