Verifique que o vetor \mathbf{X}_{p} é uma solução particular do sistema dado.
\mathbf{X}^{\prime}=\left(\begin{array}{rr}2 & 1 \\\\ 1 & -1\end{array}\right) \mathbf{X}+\binom{-5}{2} ;\quad \mathbf{X}_{p}=\binom{1}{3}

Passo 1

Dados fornecidos:
  • Sistema: \mathbf{X}^{\prime}=\left(\begin{array}{rr}2 & 1 \\[4pt] 1 & -1\end{array}\right)\mathbf{X}+\binom{-5}{2}.
  • Vetor candidato a solução particular: \mathbf{X}_{p}=\binom{1}{3}.
O que o enunciado pede:
  • Verificar se \mathbf{X}_{p} é uma solução particular do sistema, isto é, checar se \mathbf{X}_p satisfaz a equação diferencial dada.]

Passo 2

Lembrete (conceito usado): dizer que um vetor \mathbf{X}_p(t) é solução particular do sistema significa que, ao substituí-lo na equação, a igualdade
\mathbf{X}_p^{\prime}(t)=\left(\begin{array}{rr}2 & 1 \\[4pt] 1 & -1\end{array}\right)\mathbf{X}_p(t)+\binom{-5}{2}
deve ser verdadeira para todo t. Para vetores constantes, a derivada componente a componente é zero — ou seja, se \mathbf{X}_p não depende de t, então \mathbf{X}_p^{\prime}=\mathbf{0}.]

Passo 3

Calcular a derivada de \mathbf{X}_{p}. Como \mathbf{X}_{p}=\binom{1}{3} é constante (não depende de t),
\mathbf{X}_{p}^{\prime}=\binom{0}{0}=\mathbf{0}.

Passo 4

Calcular o produto da matriz pelo vetor \mathbf{X}_{p}. Multiplicação linha-por-coluna:
\left(\begin{array}{rr}2 & 1 \\[4pt] 1 & -1\end{array}\right)\binom{1}{3} = \binom{2\cdot 1 + 1\cdot 3}{1\cdot 1 + (-1)\cdot 3} = \binom{2 + 3}{1 - 3} = \binom{5}{-2}.]

Passo 5

Somar o vetor constante \binom{-5}{2} ao resultado obtido:
\left(\begin{array}{rr}2 & 1 \\[4pt] 1 & -1\end{array}\right)\mathbf{X}_{p}+\binom{-5}{2} = \binom{5}{-2}+\binom{-5}{2} = \binom{5-5}{-2+2} = \binom{0}{0} = \mathbf{0}.]

Passo 6

Comparar os lados da equação para verificar a condição de solução particular:
  • Lado esquerdo: \mathbf{X}_{p}^{\prime}=\mathbf{0} (Passo 3).
  • Lado direito: \left(\begin{array}{rr}2 & 1 \\[4pt] 1 & -1\end{array}\right)\mathbf{X}_{p}+\binom{-5}{2}=\mathbf{0} (Passo 5).
Como os dois lados coincidem ( \mathbf{0}=\mathbf{0}), a igualdade exigida pela equação diferencial é satisfeita.]

Resposta

\mathbf{X}_{p}=\binom{1}{3} é uma solução particular do sistema.

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