QUESTÃO 4

O poder de dispersão pode ser definido como D=d \theta / d \lambda. Seja y a posição entre os máximos e mínimos projetados num anteparo de distância L das fendas. Mostre que:
(Dica: d \operatorname{sen} \theta=m \lambda )
\frac{d \lambda}{d y}=\frac{L^{2} d}{m\left(L^{2}+y^{2}\right)^{3 / 2}}

Passo 1

O enunciado trata da dispersão em uma fenda múltipla (rede ou fenda dupla) a uma distância L do anteparo, em que a posição y dos máximos e mínimos está relacionada ao ângulo de difração \theta. O poder de dispersão é definido como
D = \frac{d\theta}{d\lambda}.
Queremos mostrar que
\frac{d\lambda}{d y} = \frac{L^{2}d}{m\bigl(L^{2}+y^{2}\bigr)^{3/2}}.
Para isso, vamos usar a equação de difração
d\sin\theta = m\,\lambda
e a relação geométrica
\tan\theta = \frac{y}{L}.

Passo 2

Diferenciando a equação de difração d\,\sin\theta = m\,\lambda em relação a \theta e \lambda, obtemos
d\cos\theta \,\frac{d\theta}{d\lambda} = m \quad\Longrightarrow\quad \frac{d\lambda}{d\theta} = \frac{d\cos\theta}{m}.

Passo 3

Da geometria do anteparo, \tan\theta = y/L. Logo,
\theta = \arctan\!\bigl(y/L\bigr) \quad\Longrightarrow\quad \frac{d\theta}{d y} = \frac{1}{1+(y/L)^{2}}\;\frac{1}{L^{-1}} = \frac{L}{L^{2}+y^{2}}.

Passo 4

Usamos a regra da cadeia para ligar \lambda a y:
\frac{d\lambda}{d y} = \frac{d\lambda}{d\theta}\,\frac{d\theta}{d y} = \frac{d\cos\theta}{m}\;\frac{L}{L^{2}+y^{2}}.
Mas \cos\theta pode ser expresso em função de y e L pela identidade
\cos\theta = \frac{1}{\sqrt{1+\tan^{2}\theta}} = \frac{1}{\sqrt{1+(y/L)^{2}}} = \frac{L}{\sqrt{L^{2}+y^{2}}}.
Substituindo em d\cos\theta
d\cos\theta = d\;\frac{L}{\sqrt{L^{2}+y^{2}}} = \frac{d\,L}{\sqrt{L^{2}+y^{2}}}.
Logo,
\frac{d\lambda}{d y} = \frac{1}{m}\,\frac{d\,L}{\sqrt{L^{2}+y^{2}}}\;\frac{L}{L^{2}+y^{2}} = \frac{L^{2}\,d}{m\,(L^{2}+y^{2})^{3/2}}.

Resposta

\frac{d\lambda}{d y} = \frac{L^{2}d}{m\bigl(L^{2}+y^{2}\bigr)^{3/2}}.

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