O resultado mais importante dos cálculos é a razão T entre o fluxo de probabilidade transmitida através da barreira para a região x>a e o fluxo de probabilidade incidente sobre a barreira. Mostre que:
k_{2} a=\sqrt{\frac{2 m V_{0} a^{2}}{\hbar^{2}}\left(1-\frac{E}{V_{0}}\right)}, \quad E<V_{0}
Passo 1
O enunciado pede para calcular a razão de transmissão quântica
T=\frac{v_{1}|F|^{2}}{v_{1}|A|^{2}}
para uma partícula de energia E<V_{0} incidentando sobre uma barreira de altura V_{0} e largura a.
O conteúdo necessário é a solução da equação de Schrödinger em três regiões planas, as condições de contorno em x=0 e x=a, o cálculo da amplitude de transmissão F/A e, por fim, a simplificação em termos de k_{1}=\sqrt{2mE}/\hbar e k_{2}=\sqrt{2m(V_{0}-E)}/\hbar.
Passo 2
Escrevemos as funções de onda em cada região:
região I (x<0):
\psi_{I}(x)=A\,e^{i k_{1}x}+B\,e^{-i k_{1}x},
região II (0\le x\le a):
\psi_{II}(x)=C\,e^{k_{2}x}+D\,e^{-k_{2}x},
região III (x>a):
\psi_{III}(x)=F\,e^{i k_{1}x}.
As velocidades em I e III são iguais v_{1}=\hbar k_{1}/m, então T=|F/A|^{2}.
Passo 3
Impondo continuidade de \psi e \psi' em x=0 e x=a obtemos um sistema linear que, após eliminarmos B, C e D, dá a amplitude de transmissão (ver livros-texto)
Ao calcular o módulo ao quadrado do denominador e usar
k_{1}^{2}+k_{2}^{2}=\frac{2mV_{0}}{\hbar^{2}},
chega-se a
T =\frac{16\,k_{1}^{2}k_{2}^{2}} {16\,k_{1}^{2}k_{2}^{2}+(k_{1}^{2}+k_{2}^{2})^{2}\operatorname{sinh}^{2}(k_{2}a)} =\biggl[1+\frac{(k_{1}^{2}+k_{2}^{2})^{2}}{16\,k_{1}^{2}k_{2}^{2}}\operatorname{sinh}^{2}(k_{2}a)\biggr]^{-1}.