Questão 1 (1 ponto cada) Calcule a derivada
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada de
Informações dadas:
- O numerador é a função
. - O denominador é a função
. - O que queremos é
, a derivada de em função de .
Passo 2
Estratégia (o que vamos usar): aqui temos uma função que é uma razão (fração) entre duas funções polinomiais. Para derivar uma razão usamos a regra do quociente. Vou escrever a regra e explicar o que cada símbolo significa.
A regra do quociente diz que, para duas funções
e
com
,
Significado:
-
é o numerador da fração. -
é o denominador da fração. -
é a derivada de em relação a . -
é a derivada de em relação a . - O numerador da derivada é
e o denominador é .
Passo 3
Identificamos
e
e calculamos suas derivadas usando a regra do poder (power rule). A regra do poder diz que, para
,
Exemplo rápido: se
então
.
No nosso caso:
- Definimos
. Aplicando a derivada termo a termo (derivada de é , de é , de é ), obtemos
- Definimos
. Aplicando a regra do poder, a derivada de é e de é , então
Passo 4
Agora aplicamos a regra do quociente trocando
,
,
e
na fórmula:
Esse é um resultado correto, ainda não simplificado. Vou simplificar o numerador passo a passo para ficar mais fácil de usar na prova.
Passo 5
Expandimos cada produto do numerador com cuidado, distribuindo termo a termo.
Primeiro produto:
Calculando cada termo:
Portanto
Segundo produto:
Calculando:
Portanto
Passo 6
Subtraímos o segundo produto do primeiro (conforme a regra do quociente) e combinamos termos semelhantes.
Numerador:
Distribuindo o sinal de menos:
Agora somamos termos semelhantes em potência decrescente:
- Para
: . - Para
: . - Para
: há apenas . - Para
: . - Constante:
.
Logo o numerador simplificado é
Passo 7
Juntando numerador e denominador finalizamos a derivada simplificada:
Se quiser, pode tirar um sinal negativo comum do numerador, mas não é necessário. Essa forma já está adequada para a prova.