Questão 1 (1 ponto cada) Calcule a derivada
f(x)=\frac{x^{2}+2 x-3}{x^{5}+1} \quad \Rightarrow \quad f^{\prime}(x)=

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de
f(x)=\frac{x^{2}+2 x-3}{x^{5}+1}.
Informações dadas:
  • O numerador é a função \,x^{2}+2x-3\,.
  • O denominador é a função \,x^{5}+1\,.
  • O que queremos é \,f'(x), a derivada de f em função de x.

Passo 2

Estratégia (o que vamos usar): aqui temos uma função que é uma razão (fração) entre duas funções polinomiais. Para derivar uma razão usamos a regra do quociente. Vou escrever a regra e explicar o que cada símbolo significa.
A regra do quociente diz que, para duas funções u(x) e v(x) com v(x)\neq 0,
\left(\frac{u(x)}{v(x)}\right)'=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{(v(x))^{2}}.
Significado:
  • u(x) é o numerador da fração.
  • v(x) é o denominador da fração.
  • u'(x) é a derivada de u em relação a x.
  • v'(x) é a derivada de v em relação a x.
  • O numerador da derivada é u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x) e o denominador é (v(x))^{2}.

Passo 3

Identificamos u e v e calculamos suas derivadas usando a regra do poder (power rule). A regra do poder diz que, para g(x)=x^{n},
g'(x)=n x^{n-1}.
Exemplo rápido: se g(x)=x^{3} então g'(x)=3x^{2}.
No nosso caso:
  • Definimos u(x)=x^{2}+2x-3. Aplicando a derivada termo a termo (derivada de x^{2} é 2x, de 2x é 2, de -3 é 0), obtemos
u'(x)=2x+2.
  • Definimos v(x)=x^{5}+1. Aplicando a regra do poder, a derivada de x^{5} é 5x^{4} e de 1 é 0, então
v'(x)=5x^{4}.

Passo 4

Agora aplicamos a regra do quociente trocando u, v, u' e v' na fórmula:
f'(x)=\frac{(2x+2)(x^{5}+1)-(x^{2}+2x-3)(5x^{4})}{(x^{5}+1)^{2}}.
Esse é um resultado correto, ainda não simplificado. Vou simplificar o numerador passo a passo para ficar mais fácil de usar na prova.

Passo 5

Expandimos cada produto do numerador com cuidado, distribuindo termo a termo.
Primeiro produto:
(2x+2)(x^{5}+1)=2x\cdot x^{5}+2x\cdot 1+2\cdot x^{5}+2\cdot 1.
Calculando cada termo:
2x\cdot x^{5}=2x^{6},\quad 2x\cdot 1=2x,\quad 2\cdot x^{5}=2x^{5},\quad 2\cdot 1=2.
Portanto
(2x+2)(x^{5}+1)=2x^{6}+2x^{5}+2x+2.
Segundo produto:
(x^{2}+2x-3)(5x^{4})=5x^{4}\cdot x^{2}+5x^{4}\cdot 2x+5x^{4}\cdot(-3).
Calculando:
5x^{4}\cdot x^{2}=5x^{6},\quad 5x^{4}\cdot 2x=10x^{5},\quad 5x^{4}\cdot(-3)=-15x^{4}.
Portanto
(x^{2}+2x-3)(5x^{4})=5x^{6}+10x^{5}-15x^{4}.

Passo 6

Subtraímos o segundo produto do primeiro (conforme a regra do quociente) e combinamos termos semelhantes.
Numerador:
(2x^{6}+2x^{5}+2x+2)-(5x^{6}+10x^{5}-15x^{4}).
Distribuindo o sinal de menos:
2x^{6}+2x^{5}+2x+2-5x^{6}-10x^{5}+15x^{4}.
Agora somamos termos semelhantes em potência decrescente:
  • Para x^{6}: 2x^{6}-5x^{6}=-3x^{6}.
  • Para x^{5}: 2x^{5}-10x^{5}=-8x^{5}.
  • Para x^{4}: há apenas +15x^{4}.
  • Para x: +2x.
  • Constante: +2.
Logo o numerador simplificado é
-3x^{6}-8x^{5}+15x^{4}+2x+2.

Passo 7

Juntando numerador e denominador finalizamos a derivada simplificada:
f'(x)=\frac{-3x^{6}-8x^{5}+15x^{4}+2x+2}{(x^{5}+1)^{2}}.
Se quiser, pode tirar um sinal negativo comum do numerador, mas não é necessário. Essa forma já está adequada para a prova.

Resposta

f'(x)=\frac{-3x^{6}-8x^{5}+15x^{4}+2x+2}{(x^{5}+1)^{2}}

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