Questão 1 (1 ponto cada) Calcule a derivada
\quad h(x)=\ln \left(1+2 x+x^{3}\right) \quad \Rightarrow \quad h^{\prime}(x)=

Passo 1

O enunciado dá a função h e pede a sua derivada. As informações fornecidas são:
  • A função é h(x)=\ln\bigl(1+2x+x^{3}\bigr).
  • A tarefa é calcular h'(x) (a derivada de h em função de x).
  • Observação importante (informação implícita): a expressão dentro do logaritmo precisa ser positiva, ou seja, devemos ter 1+2x+x^{3}>0 para que h(x) esteja definida.

Passo 2

Regra que vamos usar (explicada): a derivada do logaritmo natural de uma função composta \ln(u(x)) é dada por
\frac{d}{dx}\ln\bigl(u(x)\bigr)=\frac{u'(x)}{u(x)}.
O que isso significa, de forma bem simples: a inclinação da função \ln num ponto é \frac{1}{u} multiplicada pela taxa de variação da “caixa interna” u(x). Aqui u'(x) é a derivada de u em relação a x. Essa é uma aplicação direta da regra da cadeia: primeiro derivamos a função externa \ln(t) em relação a t (que dá 1/t) e depois multiplicamos pela derivada da parte interna t=u(x).

Passo 3

Identificamos a parte interna da função composta. Definimos
u(x)=1+2x+x^{3}.
Agora vamos calcular u'(x). Para isso usamos regras básicas:
  • A derivada de uma constante é zero.
  • A derivada de a x (com a constante) é a.
  • A regra do poder: \dfrac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}.
Aplicando isso termo a termo:
  • \dfrac{d}{dx}1=0.
  • \dfrac{d}{dx}2x=2.
  • \dfrac{d}{dx}x^{3}=3x^{2}.
Portanto,
u'(x)=0+2+3x^{2}=2+3x^{2}.

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula da derivada do logaritmo (passo 2) substituindo u(x) e u'(x):
h'(x)=\frac{u'(x)}{u(x)}=\frac{2+3x^{2}}{1+2x+x^{3}}.

Passo 5

Verificação rápida e interpretação: a expressão encontrada vale para todos os x tais que 1+2x+x^{3}>0 (caso contrário h(x) não está definida). Como exemplo numérico para checar: em x=0 temos
h'(0)=\frac{2+3\cdot 0^{2}}{1+2\cdot 0+0^{3}}=\frac{2}{1}=2,
o que faz sentido — é só um teste rápido para ver que a fórmula está bem formada.

Resposta

h'(x)=\dfrac{2+3x^{2}}{1+2x+x^{3}}

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