Questão 1 (1 ponto cada) Calcule a derivada
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede a sua derivada. As informações fornecidas são:
- A função é
. - A tarefa é calcular
(a derivada de em função de ). - Observação importante (informação implícita): a expressão dentro do logaritmo precisa ser positiva, ou seja, devemos ter
para que esteja definida.
Passo 2
Regra que vamos usar (explicada): a derivada do logaritmo natural de uma função composta
é dada por
O que isso significa, de forma bem simples: a inclinação da função
num ponto é
multiplicada pela taxa de variação da “caixa interna”
. Aqui
é a derivada de
em relação a
. Essa é uma aplicação direta da regra da cadeia: primeiro derivamos a função externa
em relação a
(que dá
) e depois multiplicamos pela derivada da parte interna
.
Passo 3
Identificamos a parte interna da função composta. Definimos
Agora vamos calcular
. Para isso usamos regras básicas:
- A derivada de uma constante é zero.
- A derivada de
(com constante) é . - A regra do poder:
.
Aplicando isso termo a termo:
-
. -
. -
.
Portanto,
Passo 4
Agora aplicamos a fórmula da derivada do logaritmo (passo 2) substituindo
e
:
Passo 5
Verificação rápida e interpretação: a expressão encontrada vale para todos os
tais que
(caso contrário
não está definida). Como exemplo numérico para checar: em
temos
o que faz sentido — é só um teste rápido para ver que a fórmula está bem formada.