Questão 1 (1 ponto cada) Para cada função abaixo, calcule sua derivada (colocar somente a resposta):
f(x)=\sqrt{\frac{x+2}{x-1}}
f^{\prime}(x)=

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
f(x)=\sqrt{\frac{x+2}{x-1}}.
Informações dadas que vamos usar: a expressão da função f(x) está escrita como raiz quadrada de uma razão. Não preciso de mais informações do enunciado; o objetivo é encontrar f'(x).

Passo 2

Primeiro passo técnico: reescrever a função em potências para aplicar regras de derivação de forma direta. Escrevo a raiz como potência 1/2:
f(x)=\left(\frac{x+2}{x-1}\right)^{1/2}.
Aqui eu chamo de u(x) a parte interna:
u(x)=\frac{x+2}{x-1},
de modo que
f(x)=\bigl(u(x)\bigr)^{1/2}.

Passo 3

Agora uso a regra da cadeia. A regra da cadeia diz que, para f(x)=\bigl(u(x)\bigr)^{n}, temos
f'(x)=n\bigl(u(x)\bigr)^{n-1}\cdot u'(x).
No nosso caso n=\tfrac{1}{2}, então
f'(x)=\frac{1}{2}\left(\frac{x+2}{x-1}\right)^{-1/2}\cdot u'(x).
Falta, portanto, calcular u'(x).

Passo 4

Calcular u'(x) usando a regra do quociente. Para u(x)=\dfrac{g(x)}{h(x)} com g(x)=x+2 e h(x)=x-1, a regra do quociente é
u'(x)=\frac{g'(x)h(x)-g(x)h'(x)}{[h(x)]^{2}}.
Aqui g'(x)=1 e h'(x)=1. Então
u'(x)=\frac{1\cdot(x-1)-(x+2)\cdot 1}{(x-1)^{2}}.

Passo 5

Simplifico o numerador de u'(x):
1\cdot(x-1)-(x+2)\cdot 1 = x-1-x-2 = -3.
Portanto
u'(x)=\frac{-3}{(x-1)^{2}}.

Passo 6

Substituo u'(x) em f'(x):
f'(x)=\frac{1}{2}\left(\frac{x+2}{x-1}\right)^{-1/2}\cdot\left(\frac{-3}{(x-1)^{2}}\right).
Coloco o fator -3 à frente:
f'(x)=-\frac{3}{2}\left(\frac{x+2}{x-1}\right)^{-1/2}\cdot\frac{1}{(x-1)^{2}}.

Passo 7

Agora faço simplificações usando propriedades de potências e raízes. Lembro que \left(\dfrac{x+2}{x-1}\right)^{-1/2}=\sqrt{\dfrac{x-1}{x+2}}. Substituindo e combinando com (x-1)^{-2}:
f'(x)=-\frac{3}{2}\cdot\frac{\sqrt{x-1}}{\sqrt{x+2}}\cdot\frac{1}{(x-1)^{2}} =-\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{(x-1)^{3/2}\,\sqrt{x+2}}.
Essa é uma forma limpa e usual da derivada.

Resposta

f'(x)=-\frac{3}{2\,(x-1)^{3/2}\,\sqrt{x+2}}

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