Questão 1 (1 ponto cada) Para cada função abaixo, calcule sua derivada (colocar somente a resposta):
g(x)=x^{2} e^{\cos x}
g^{\prime}(x)=

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função \;g(x)=x^{2}e^{\cos x}\;.
Informações dadas: a expressão explícita de g(x) é \;x^{2}e^{\cos x}\;. A tarefa é encontrar g'(x) (colocar somente a resposta no final).

Passo 2

Vamos identificar a estrutura da função para saber quais regras de diferenciação usar. A função é um produto de duas partes: \;u(x)=x^{2}\; e \;v(x)=e^{\cos x}\;. Quando uma função é produto de duas funções, usamos a regra do produto. A regra do produto diz:
\text{se }h(x)=u(x)\,v(x)\text{, então }h'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).ã
Aqui u'(x) é a derivada de u e v'(x) é a derivada de v.

Passo 3

Agora precisamos das derivadas de cada fator separadamente. Primeiro calcule u'(x) com a regra da potência. A regra da potência para u(x)=x^{n} diz que u'(x)=n x^{n-1}. Aplicando com n=2:
u(x)=x^{2}\quad\Rightarrow\quad u'(x)=2x.

Passo 4

Agora calcule v'(x) onde v(x)=e^{\cos x}. Aqui temos uma composição: v(x)=\exp\big(\cos x\big). Para derivar uma função composta usamos a regra da cadeia. A regra da cadeia diz:
\text{se }v(x)=f\big(g(x)\big)\text{ então }v'(x)=f'\big(g(x)\big)\cdot g'(x).ã
No nosso caso f(t)=e^{t} e g(x)=\cos x. Sabemos que f'(t)=e^{t} e g'(x)=(\cos x)'=-\sin x. Portanto
v'(x)=f'\big(g(x)\big)\cdot g'(x)=e^{\cos x}\cdot(-\sin x)=-\sin x\,e^{\cos x}.

Passo 5

Agora aplique a regra do produto com u'(x) e v'(x) encontrados. Lembrando que u(x)=x^{2}, u'(x)=2x, v(x)=e^{\cos x} e v'(x)=-\sin x\,e^{\cos x}. Assim
g'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x)=2x\cdot e^{\cos x}+x^{2}\cdot\big(-\sin x\,e^{\cos x}\big).

Passo 6

Simplifique a expressão fatorando e^{\cos x}, que aparece em ambos os termos:
g'(x)=e^{\cos x}\big(2x - x^{2}\sin x\big).
Se preferir, também é possível fatorar x:
g'(x)=x\,e^{\cos x}\big(2 - x\sin x\big).

Resposta

g'(x)=e^{\cos x}\big(2x - x^{2}\sin x\big)

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