Questão 1 (1 ponto cada) Para cada função abaixo, calcule sua derivada (colocar somente a resposta):
h(x)=\ln \left(\frac{\left(x^{2}+1\right)^{4}}{(x+3)^{7}}\right)
h^{\prime}(x)=

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule a derivada da função
h(x)=\ln\left(\frac{\left(x^{2}+1\right)^{4}}{(x+3)^{7}}\right).
Informações dadas:
h(x)=\ln\!\big((x^{2}+1)^{4}\big)-\ln\!\big((x+3)^{7}\big).
A resposta solicitada é h^{\prime}(x).

Passo 2

Vou usar propriedades dos logaritmos para simplificar antes de derivar. Lembre-se:
\ln\!\left(\frac{A}{B}\right)=\ln A-\ln B \qquad\text{e}\qquad \ln(A^{k})=k\ln A.
Aplicando em h(x) obtenho
h(x)=4\ln(x^{2}+1)-7\ln(x+3).

Passo 3

Agora derivamos termo a termo. Recorde importante (regra que usaremos):
\frac{d}{dx}\ln(u(x))=\frac{u'(x)}{u(x)},
isto é, derivada do logaritmo natural composta com u(x) é a derivada de u dividida por u. Também usaremos a regra da constante multiplicativa: se c é constante então \frac{d}{dx}[c\cdot f(x)]=c\cdot f'(x).

Passo 4

Derivando cada termo:
  • Para 4\ln(x^{2}+1): aqui u(x)=x^{2}+1 tem u'(x)=2x. Logo
\frac{d}{dx}\big[4\ln(x^{2}+1)\big]=4\cdot\frac{2x}{x^{2}+1}=\frac{8x}{x^{2}+1}.
  • Para -7\ln(x+3): aqui v(x)=x+3 tem v'(x)=1. Logo
\frac{d}{dx}\big[-7\ln(x+3)\big]=-7\cdot\frac{1}{x+3}=-\frac{7}{x+3}.
Somando as duas partes temos
h'(x)=\frac{8x}{x^{2}+1}-\frac{7}{x+3}.

Passo 5

Se desejar, podemos colocar em uma única fração. O denominador comum é (x^{2}+1)(x+3). Calculando o numerador:
8x(x+3)-7(x^{2}+1)=8x^{2}+24x-7x^{2}-7=x^{2}+24x-7.
Portanto a forma única é
h'(x)=\frac{x^{2}+24x-7}{(x^{2}+1)(x+3)}.

Resposta

\displaystyle h'(x)=\frac{8x}{x^{2}+1}-\frac{7}{x+3}

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