Questão 3 ( 1 ponto cada item). Considere a função
dada por
i) Determine o domínio da função e as intersecção com os eixos
e
, se houverem.
ii) Determine os Intervalos de crescimento e decrescimento e possíveis pontos de máximos e mínimos.
iii) Determine os intervalos em que a função é concava para cima e concava para baixo e possíveis pontos de inflexão.
iv) Determine as assíntotas horizontais, as assíntotas verticais e as assíntotas inclinadas, caso existam.
v) Esboce o gráfico.
ii) Determine os Intervalos de crescimento e decrescimento e possíveis pontos de máximos e mínimos.
iii) Determine os intervalos em que a função é concava para cima e concava para baixo e possíveis pontos de inflexão.
iv) Determine as assíntotas horizontais, as assíntotas verticais e as assíntotas inclinadas, caso existam.
v) Esboce o gráfico.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede os itens i) a v). Vou listar claramente o que cada item solicita e quais informações iniciais temos:
i) Determine o domínio de
e as intersecções com os eixos
e
, se existirem.
ii) Determine os intervalos de crescimento e decrescimento e possíveis pontos de máximos e mínimos.
iii) Determine os intervalos de concavidade (côncava para cima e para baixo) e possíveis pontos de inflexão.
iv) Determine assíntotas horizontais, verticais e inclinadas (obliquas), se existirem.
v) Esboce o gráfico (descreva o formato, pontos marcantes e comportamentos limites).
ii) Determine os intervalos de crescimento e decrescimento e possíveis pontos de máximos e mínimos.
iii) Determine os intervalos de concavidade (côncava para cima e para baixo) e possíveis pontos de inflexão.
iv) Determine assíntotas horizontais, verticais e inclinadas (obliquas), se existirem.
v) Esboce o gráfico (descreva o formato, pontos marcantes e comportamentos limites).
Informações dadas explicitamente: a expressão algébrica de
. Informações implícitas: devemos considerar comportamento em
e
, derivadas para monotonicidade e concavidade, e valores onde a função não está definida.
Passo 2
Domínio e intersecções com os eixos — explicando passo a passo como achar.
- Domínio: a expressão
exige . Portanto o domínio é
-
Interseção com o eixo
: é o valor . Como não pertence ao domínio, não existe interseção com o eixo . -
Interseção com o eixo
: resolver :
Multiplicando por
(válido para
) obtemos
Logo há uma interseção com o eixo
em
.
Passo 3
Derivada primeira — ensinar e aplicar para monotonicidade.
Regra usada: se
então, pela regra do poder (power rule),
. A derivada de
é
. Portanto
Pontos críticos: soluções de
ou onde
não existe (mas o único ponto onde
não existe é
, que já não pertence ao domínio). Resolvendo
Portanto o único ponto crítico no domínio é
.
Passo 4
Análise do sinal de
para obter intervalos de crescimento/decrescimento e identificar extremos.
Observação: o sinal de
depende do sinal de
.
-
Para
: temos , então . Assim , logo . Conclusão: é crescente em . -
Para
: nesse intervalo e positivo, então e . Conclusão: é decrescente em . -
Para
: tem-se , então e . Conclusão: é crescente em .
Troca de sinal de
em
: de negativo (à esquerda) para positivo (à direita), caracterizando um mínimo local. Como não existe ponto onde
muda de positivo para negativo, não há máximos locais no domínio. Também
não é ponto de domínio, então não é considerado extremo.
Passo 5
Derivada segunda — ensinar e aplicar para concavidade e pontos de inflexão.
Derivando
novamente, usando regra do poder:
Observação: para todo
tem-se
, logo
para todos
.
Interpretação:
- Se
em um intervalo então é côncava para cima nesse intervalo. - Como
em toda o domínio, é côncava para cima em e em . - Não há intervalos onde
; portanto não há concavidade para baixo e não existem pontos de inflexão (não há troca no sinal de ).
Passo 6
Valor do mínimo local (calcular
em
).
Seja
. Então
Podemos simplificar combinando em denominação comum
:
Portanto o mínimo local (que é o mínimo global no domínio, pois a função vai para
perto de
e para
nas extremidades adequadas) ocorre em
com valor
(Numa prova você pode também deixar em forma
; a forma
é compacta.)
Passo 7
Assíntotas — ensinar como achar cada tipo e aplicar ao caso.
- Assíntotas verticais: pontos do tipo
onde . Aqui não pertence ao domínio; examinando os limites:
pois
domina e é positivo para ambos os lados. Logo existe uma assíntota vertical em
.
- Assíntotas horizontais: existem se
convergir a uma constante. Aqui
portanto não há assíntotas horizontais.
- Assíntotas inclinadas (obliquas): para
podemos verificar se existe reta tal que . O coeficiente angular é
O termo independente é
Portanto há uma assíntota oblíqua comum para
e
: a reta
Passo 8
Comportamento limite e esboço do gráfico — descrevendo o que desenhar e os pontos importantes.
Pontos marcantes e comportamento:
- Domínio:
. - Interseção com eixo
: . - Sem interseção com eixo
(pois não pertence ao domínio). - Assíntota vertical:
. Em ambos os lados de a função tende para . - Assíntota oblíqua:
; a curva aproxima-se da reta quando . - Crescimento/decrescimento:
- Crescente em
. - Decrescente em
. - Crescente em
.
- Crescente em
- Concavidade: côncava para cima em todo o domínio.
- Mínimo local em
com valor . Não há máximos locais. - Para
, seguindo a reta . Para , seguindo a reta . - Para
próximo de (pela direita ou esquerda) a função sobe para .
Como esboçar: desenhe a reta
como guia; desenhe uma ramo à esquerda passando por
, côncavo para cima e aproximando-se da reta
quando
, vindo de
e subindo até
ao se aproximar de
. À direita de
desenhe um ramo que sai de
(próximo de
), decresce até o mínimo em
(valor
), depois cresce e se aproxima da reta
quando
. Todo o gráfico é côncavo para cima nos dois ramos.
Passo 9
Resumo final compacto (seguindo o que será colocado na seção de resposta): itens i) a v) em forma direta para consulta rápida.
Resposta
i) Domínio:
. Interseção com o eixo
:
. Interseção com o eixo
: nenhuma.
ii) Crescente em e em
. Decrescente em
. Mínimo local em
com valor
. Sem máximos locais.
iii) Côncava para cima em e em
. Não há intervalos côncavos para baixo nem pontos de inflexão.
iv) Assíntota vertical: . Não há assíntotas horizontais. Assíntota inclinada:
.
v) Esboço (descrição): ramo à esquerda em côncavo para cima, cruza o eixo
em
e aproxima-se de
quando
; ramo à direita sai de
em
, decresce até o mínimo em
com
, depois cresce aproximando-se de
quando
.
ii) Crescente em
iii) Côncava para cima em
iv) Assíntota vertical:
v) Esboço (descrição): ramo à esquerda em