Questão 3 ( 1 ponto cada item). Considere a função f dada por
f(x)=x+\frac{1}{x^{2}} .
i) Determine o domínio da função e as intersecção com os eixos x e y, se houverem.
ii) Determine os Intervalos de crescimento e decrescimento e possíveis pontos de máximos e mínimos.
iii) Determine os intervalos em que a função é concava para cima e concava para baixo e possíveis pontos de inflexão.
iv) Determine as assíntotas horizontais, as assíntotas verticais e as assíntotas inclinadas, caso existam.
v) Esboce o gráfico.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=x+\frac{1}{x^{2}}
e pede os itens i) a v). Vou listar claramente o que cada item solicita e quais informações iniciais temos:
i) Determine o domínio de f e as intersecções com os eixos x e y, se existirem.
ii) Determine os intervalos de crescimento e decrescimento e possíveis pontos de máximos e mínimos.
iii) Determine os intervalos de concavidade (côncava para cima e para baixo) e possíveis pontos de inflexão.
iv) Determine assíntotas horizontais, verticais e inclinadas (obliquas), se existirem.
v) Esboce o gráfico (descreva o formato, pontos marcantes e comportamentos limites).
Informações dadas explicitamente: a expressão algébrica de f. Informações implícitas: devemos considerar comportamento em x\to 0^\pm e x\to\pm\infty, derivadas para monotonicidade e concavidade, e valores onde a função não está definida.

Passo 2

Domínio e intersecções com os eixos — explicando passo a passo como achar.
  1. Domínio: a expressão \frac{1}{x^{2}} exige x\neq 0. Portanto o domínio é
(-\infty,0)\cup(0,\infty).
  1. Interseção com o eixo y: é o valor f(0). Como 0 não pertence ao domínio, não existe interseção com o eixo y.
  2. Interseção com o eixo x: resolver f(x)=0:
x+\frac{1}{x^{2}}=0.
Multiplicando por x^{2} (válido para x\neq0) obtemos
x^{3}+1=0\quad\Rightarrow\quad x^{3}=-1\quad\Rightarrow\quad x=-1.
Logo há uma interseção com o eixo x em (-1,0).

Passo 3

Derivada primeira — ensinar e aplicar para monotonicidade.
Regra usada: se g(x)=x^{-2} então, pela regra do poder (power rule), g'(x)=-2x^{-3}. A derivada de x é 1. Portanto
f'(x)=1-2x^{-3}=1-\frac{2}{x^{3}}.
Pontos críticos: soluções de f'(x)=0 ou onde f' não existe (mas o único ponto onde f' não existe é x=0, que já não pertence ao domínio). Resolvendo
1-\frac{2}{x^{3}}=0\quad\Rightarrow\quad \frac{2}{x^{3}}=1\quad\Rightarrow\quad x^{3}=2\quad\Rightarrow\quad x=\sqrt[3]{2}.
Portanto o único ponto crítico no domínio é x=\sqrt[3]{2}>0.

Passo 4

Análise do sinal de f'(x) para obter intervalos de crescimento/decrescimento e identificar extremos.
Observação: o sinal de f'(x)=1-\dfrac{2}{x^{3}} depende do sinal de x^{3}.
  • Para x<0: temos x^{3}<0, então \dfrac{2}{x^{3}}<0. Assim f'(x)=1-\dfrac{2}{x^{3}}>1, logo f'(x)>0. Conclusão: f é crescente em (-\infty,0).
  • Para 0<x<\sqrt[3]{2}: nesse intervalo x^{3}<2 e positivo, então \dfrac{2}{x^{3}}>1 e f'(x)<0. Conclusão: f é decrescente em (0,\sqrt[3]{2}).
  • Para x>\sqrt[3]{2}: tem-se x^{3}>2, então \dfrac{2}{x^{3}}<1 e f'(x)>0. Conclusão: f é crescente em (\sqrt[3]{2},\infty).
Troca de sinal de f' em x=\sqrt[3]{2}: de negativo (à esquerda) para positivo (à direita), caracterizando um mínimo local. Como não existe ponto onde f' muda de positivo para negativo, não há máximos locais no domínio. Também x=0 não é ponto de domínio, então não é considerado extremo.

Passo 5

Derivada segunda — ensinar e aplicar para concavidade e pontos de inflexão.
Derivando f'(x)=1-2x^{-3} novamente, usando regra do poder:
f''(x)= -2\cdot(-3)x^{-4}=6x^{-4}=\frac{6}{x^{4}}.
Observação: para todo x\neq0 tem-se x^{4}>0, logo f''(x)>0 para todos x\in(-\infty,0)\cup(0,\infty).
Interpretação:
  • Se f''(x)>0 em um intervalo então f é côncava para cima nesse intervalo.
  • Como f''(x)>0 em toda o domínio, f é côncava para cima em (-\infty,0) e em (0,\infty).
  • Não há intervalos onde f''(x)<0; portanto não há concavidade para baixo e não existem pontos de inflexão (não há troca no sinal de f'').

Passo 6

Valor do mínimo local (calcular f em x=\sqrt[3]{2}).
Seja c=\sqrt[3]{2}. Então
f\text{(c)}=c+\frac{1}{c^{2}}=2^{1/3}+2^{-2/3}.
Podemos simplificar combinando em denominação comum 2^{2/3}:
2^{1/3}+2^{-2/3}=\frac{2^{1/3}\cdot 2^{2/3}+1}{2^{2/3}}=\frac{2+1}{2^{2/3}}=\frac{3}{2^{2/3}}.
Portanto o mínimo local (que é o mínimo global no domínio, pois a função vai para +\infty perto de 0 e para \pm\infty nas extremidades adequadas) ocorre em x=\sqrt[3]{2} com valor
f\bigl(\sqrt[3]{2}\bigr)=\frac{3}{2^{2/3}}.
(Numa prova você pode também deixar em forma 2^{1/3}+2^{-2/3}; a forma \dfrac{3}{2^{2/3}} é compacta.)

Passo 7

Assíntotas — ensinar como achar cada tipo e aplicar ao caso.
  1. Assíntotas verticais: pontos do tipo x=a onde f(x)\to\pm\infty. Aqui x=0 não pertence ao domínio; examinando os limites:
\lim_{x\to0^{+}}f(x)=\lim_{x\to0^{+}}\left(x+\frac{1}{x^{2}}\right)=+\infty,
\lim_{x\to0^{-}}f(x)=\lim_{x\to0^{-}}\left(x+\frac{1}{x^{2}}\right)=+\infty,
pois \dfrac{1}{x^{2}} domina e é positivo para ambos os lados. Logo existe uma assíntota vertical em x=0.
  1. Assíntotas horizontais: existem se \lim_{x\to\pm\infty} f(x) convergir a uma constante. Aqui
\lim_{x\to\pm\infty} f(x)=\lim_{x\to\pm\infty}\left(x+\frac{1}{x^{2}}\right)=\pm\infty,
portanto não há assíntotas horizontais.
  1. Assíntotas inclinadas (obliquas): para x\to\pm\infty podemos verificar se existe reta y=mx+b tal que f(x)-(mx+b)\to 0. O coeficiente angular é
m=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to\pm\infty}\left(1+\frac{1}{x^{3}}\right)=1.
O termo independente é
b=\lim_{x\to\pm\infty}\bigl(f(x)-mx\bigr)=\lim_{x\to\pm\infty}\left(x+\frac{1}{x^{2}}-x\right)=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{1}{x^{2}}=0.
Portanto há uma assíntota oblíqua comum para x\to+\infty e x\to-\infty: a reta
y=x.

Passo 8

Comportamento limite e esboço do gráfico — descrevendo o que desenhar e os pontos importantes.
Pontos marcantes e comportamento:
  • Domínio: (-\infty,0)\cup(0,\infty).
  • Interseção com eixo x: (-1,0).
  • Sem interseção com eixo y (pois x=0 não pertence ao domínio).
  • Assíntota vertical: x=0. Em ambos os lados de 0 a função tende para +\infty.
  • Assíntota oblíqua: y=x; a curva aproxima-se da reta y=x quando x\to\pm\infty.
  • Crescimento/decrescimento:
    • Crescente em (-\infty,0).
    • Decrescente em (0,\sqrt[3]{2}).
    • Crescente em (\sqrt[3]{2},\infty).
  • Concavidade: côncava para cima em todo o domínio.
  • Mínimo local em x=\sqrt[3]{2} com valor f(\sqrt[3]{2})=\dfrac{3}{2^{2/3}}\approx 1,889. Não há máximos locais.
  • Para x\to-\infty, f(x)\sim x\to-\infty seguindo a reta y=x. Para x\to+\infty, f(x)\sim x\to+\infty seguindo a reta y=x.
  • Para x próximo de 0 (pela direita ou esquerda) a função sobe para +\infty.
Como esboçar: desenhe a reta y=x como guia; desenhe uma ramo à esquerda passando por (-1,0), côncavo para cima e aproximando-se da reta y=x quando x\to-\infty, vindo de -\infty e subindo até +\infty ao se aproximar de x=0^{-}. À direita de 0 desenhe um ramo que sai de +\infty (próximo de 0^{+}), decresce até o mínimo em x=\sqrt[3]{2} (valor \frac{3}{2^{2/3}}), depois cresce e se aproxima da reta y=x quando x\to+\infty. Todo o gráfico é côncavo para cima nos dois ramos.

Passo 9

Resumo final compacto (seguindo o que será colocado na seção de resposta): itens i) a v) em forma direta para consulta rápida.

Resposta

i) Domínio: (-\infty,0)\cup(0,\infty). Interseção com o eixo x: (-1,0). Interseção com o eixo y: nenhuma.
ii) Crescente em (-\infty,0) e em (\sqrt[3]{2},\infty). Decrescente em (0,\sqrt[3]{2}). Mínimo local em x=\sqrt[3]{2} com valor f(\sqrt[3]{2})=\dfrac{3}{2^{2/3}}. Sem máximos locais.
iii) Côncava para cima em (-\infty,0) e em (0,\infty). Não há intervalos côncavos para baixo nem pontos de inflexão.
iv) Assíntota vertical: x=0. Não há assíntotas horizontais. Assíntota inclinada: y=x.
v) Esboço (descrição): ramo à esquerda em (-\infty,0) côncavo para cima, cruza o eixo x em (-1,0) e aproxima-se de y=x quando x\to-\infty; ramo à direita sai de +\infty em 0^{+}, decresce até o mínimo em x=\sqrt[3]{2} com f=\dfrac{3}{2^{2/3}}, depois cresce aproximando-se de y=x quando x\to+\infty.

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