Questão 1 (1 ponto cada item). Diga se os limites existem, justificando. Caso existam, diga qual o seu valor.
\lim _{x \rightarrow 1}\left(\frac{\ln (x)}{x-1}\right)

Passo 1

O enunciado pede para determinar se existe o limite
\lim_{x\to 1}\left(\frac{\ln(x)}{x-1}\right),
e, caso exista, dizer o seu valor. A informação dada é apenas a expressão \frac{\ln(x)}{x-1} e o ponto de aproximação x\to 1.

Passo 2

Vamos verificar a forma da expressão ao aproximar x de 1. Substituindo diretamente,
\ln(1)=0\quad\text{e}\quad 1-1=0,
portanto a expressão tem a forma indeterminada \frac{0}{0}. Indeterminação \frac{0}{0} significa que não podemos concluir o valor do limite por substituição direta — é preciso um método para tratar essa forma (por exemplo, usar definição de derivada ou a regra de l’Hôpital).

Passo 3

Observe que a expressão do limite tem exatamente a forma da definição de derivada de uma função f em um ponto a:
f'(a)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}.
Se escolhermos f(x)=\ln(x) e a=1, então
\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=\frac{\ln(x)-\ln(1)}{x-1}=\frac{\ln(x)}{x-1},
porque \ln(1)=0. Logo,
\lim_{x\to 1}\frac{\ln(x)}{x-1}=f'(1),
isto é, o limite é a derivada de \ln(x) em x=1, desde que \ln seja diferenciável em 1.

Passo 4

Lembrete rápido sobre derivada: a derivada de f(x)=\ln(x) para x>0 é
f'(x)=\frac{d}{dx}\ln(x)=\frac{1}{x}.
Isso é uma fórmula padrão (pode ser obtida por definição ou por regras de diferenciação). A função \ln(x) é diferenciável em todo ponto x>0, portanto também em x=1.

Passo 5

Aplicando a fórmula da derivada em x=1,
f'(1)=\frac{1}{1}=1.
Pelo passo anterior, o limite procurado é exatamente f'(1).

Passo 6

Alternativa (opcional) — justificativa por l’Hôpital: como a forma é \frac{0}{0} e as funções numerador e denominador são diferenciáveis perto de 1 (exceto possivelmente em 1 mas isso não impede o uso da regra), pela regra de l’Hôpital
\lim_{x\to 1}\frac{\ln(x)}{x-1}=\lim_{x\to 1}\frac{(\ln(x))'}{(x-1)'}=\lim_{x\to 1}\frac{1/x}{1}=\lim_{x\to 1}\frac{1}{x}=1,
confirmando o mesmo resultado.

Passo 7

Conclusão: o limite existe e vale 1.

Resposta

1

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