Questão 1 (1 ponto cada item). Diga se os limites existem, justificando. Caso existam, diga qual o seu valor.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se existe o limite
e, caso exista, dizer o seu valor. A informação dada é apenas a expressão
e o ponto de aproximação
.
Passo 2
Vamos verificar a forma da expressão ao aproximar
de
. Substituindo diretamente,
portanto a expressão tem a forma indeterminada
. Indeterminação
significa que não podemos concluir o valor do limite por substituição direta — é preciso um método para tratar essa forma (por exemplo, usar definição de derivada ou a regra de l’Hôpital).
Passo 3
Observe que a expressão do limite tem exatamente a forma da definição de derivada de uma função
em um ponto
:
Se escolhermos
e
, então
porque
. Logo,
isto é, o limite é a derivada de
em
, desde que
seja diferenciável em
.
Passo 4
Lembrete rápido sobre derivada: a derivada de
para
é
Isso é uma fórmula padrão (pode ser obtida por definição ou por regras de diferenciação). A função
é diferenciável em todo ponto
, portanto também em
.
Passo 5
Aplicando a fórmula da derivada em
,
Pelo passo anterior, o limite procurado é exatamente
.
Passo 6
Alternativa (opcional) — justificativa por l’Hôpital: como a forma é
e as funções numerador e denominador são diferenciáveis perto de
(exceto possivelmente em
mas isso não impede o uso da regra), pela regra de l’Hôpital
confirmando o mesmo resultado.
Passo 7
Conclusão: o limite existe e vale
.