Questão 1 (1 ponto cada item). Diga se os limites existem, justificando. Caso existam, diga qual o seu valor.
\lim _{x \rightarrow 0} x \cdot \operatorname{cotan}(2 x)

Passo 1

O enunciado pede para avaliar o limite
\lim_{x\to 0} x\cdot \operatorname{cotan}(2x).
Informações dadas/implicadas:
\text{a expressão é }x\cdot \operatorname{cotan}(2x)=x\cdot\frac{\cos(2x)}{\sin(2x)}\quad\text{(para }x\neq 0\text{)}.ãé
Queremos saber se esse limite existe quando x se aproxima de 0 e, se existir, qual é o seu valor.

Passo 2

Primeiro vamos escrever a cotangente em termos de seno e cosseno. Por definição,
\operatorname{cotan}(t)=\frac{\cos t}{\sin t},
portanto
x\cdot \operatorname{cotan}(2x)=x\cdot\frac{\cos(2x)}{\sin(2x)}.
Esse é o objeto cujo limite precisamos calcular quando x\to 0.

Passo 3

Fazer uma manipulação algébrica que facilite o uso do limite padrão \lim_{u\to 0}\dfrac{\sin u}{u}=1. Note que
x\cdot\frac{\cos(2x)}{\sin(2x)}=\frac{\cos(2x)}{2}\cdot\frac{2x}{\sin(2x)},
porque simplesmente escrevemos x=\tfrac{1}{2}\cdot(2x) e agrupamos os fatores.

Passo 4

Usaremos a propriedade de limites: se \lim_{x\to 0}A(x)=A_0 e \lim_{x\to 0}B(x)=B_0 existem e são finitos, então
\lim_{x\to 0}A(x)B(x)=A_0\cdot B_0.
Aqui aplicaremos essa propriedade a A(x)=\dfrac{\cos(2x)}{2} e B(x)=\dfrac{2x}{\sin(2x)}, desde que cada limite exista.

Passo 5

Calcular \lim_{x\to 0}\dfrac{\cos(2x)}{2}. A função cosseno é contínua, logo
\lim_{x\to 0}\cos(2x)=\cos(0)=1.
Portanto
\lim_{x\to 0}\frac{\cos(2x)}{2}=\frac{1}{2}.

Passo 6

Calcular \lim_{x\to 0}\dfrac{2x}{\sin(2x)}. Isto é o recíproco de \dfrac{\sin(2x)}{2x}. Usamos o limite padrão
\lim_{u\to 0}\frac{\sin u}{u}=1.
Explicando por que esse limite vale (mini-aula): para u pequeno e positivo, por desigualdades geométricas no círculo unitário temos
\cos u \le \frac{\sin u}{u} \le 1.
Como \lim_{u\to 0}\cos u=1 e o lado superior é 1, pelo Teorema do Aperto (squeeze) segue \lim_{u\to 0}\dfrac{\sin u}{u}=1. Para u negativo usa-se paridade de seno e do quociente; o resultado vale também. Aplicando isso com u=2x (que tende a 0 quando x\to 0) obtemos
\lim_{x\to 0}\frac{\sin(2x)}{2x}=1.
Tomando recíproco (recíproco de 1 é 1) dá
\lim_{x\to 0}\frac{2x}{\sin(2x)}=1.

Passo 7

Agora juntamos os resultados das etapas anteriores usando a propriedade do produto de limites:
\lim_{x\to 0}x\cdot\operatorname{cotan}(2x) =\lim_{x\to 0}\frac{\cos(2x)}{2}\cdot\frac{2x}{\sin(2x)} =\left(\lim_{x\to 0}\frac{\cos(2x)}{2}\right)\cdot\left(\lim_{x\to 0}\frac{2x}{\sin(2x)}\right).
Substituindo os limites que encontramos,
\lim_{x\to 0}x\cdot\operatorname{cotan}(2x)=\frac{1}{2}\cdot 1=\frac{1}{2}.

Resposta

\dfrac{1}{2}

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