Questão 1 (1 ponto cada item). Diga se os limites existem, justificando. Caso existam, diga qual o seu valor.
Passo 1
O enunciado pede para avaliar o limite
Informações dadas/implicadas:
Queremos saber se esse limite existe quando
se aproxima de
e, se existir, qual é o seu valor.
Passo 2
Primeiro vamos escrever a cotangente em termos de seno e cosseno. Por definição,
portanto
Esse é o objeto cujo limite precisamos calcular quando
.
Passo 3
Fazer uma manipulação algébrica que facilite o uso do limite padrão
. Note que
porque simplesmente escrevemos
e agrupamos os fatores.
Passo 4
Usaremos a propriedade de limites: se
e
existem e são finitos, então
Aqui aplicaremos essa propriedade a
e
, desde que cada limite exista.
Passo 5
Calcular
. A função cosseno é contínua, logo
Portanto
Passo 6
Calcular
. Isto é o recíproco de
. Usamos o limite padrão
Explicando por que esse limite vale (mini-aula): para
pequeno e positivo, por desigualdades geométricas no círculo unitário temos
Como
e o lado superior é
, pelo Teorema do Aperto (squeeze) segue
. Para
negativo usa-se paridade de seno e do quociente; o resultado vale também. Aplicando isso com
(que tende a
quando
) obtemos
Tomando recíproco (recíproco de 1 é 1) dá
Passo 7
Agora juntamos os resultados das etapas anteriores usando a propriedade do produto de limites:
Substituindo os limites que encontramos,