Questão 1) (1,5 ponto) Calcule o campo elétrico de uma esfera metálica carregada em todo espaço e discuta o resultado obtido.

Passo 1

O enunciado pede: “Calcule o campo elétrico de uma esfera metálica carregada em todo espaço e discuta o resultado obtido.” Vou listar claramente o que isso significa e os dados que vou usar (não foi dado raio nem carga numérica, então uso símbolos).
  • Procurar o campo elétrico \mathbf{E} em todo o espaço: isto é, para pontos com distância r do centro da esfera, cobrindo as regiões r<R, r=R e r>R.
  • Suposições físicas padrão para “esfera metálica carregada”:
    • A esfera é condutora e está em equilíbrio eletrostático.
    • Tem raio R e carga total Q.
    • Centro da esfera em O (origem).
  • Perguntas explícitas: calcular \mathbf{E}(r) para as regiões internas e externas e discutir o significado físico do resultado.

Passo 2

Escolha do método e justificativa (sem fazer contas ainda).
  • Por simetria esférica e porque se pede o campo em toda a região, a maneira mais simples é usar a lei de Gauss (é o método natural para problemas com alta simetria).
  • Vou explicar a lei de Gauss antes de aplicar: a lei de Gauss em forma integral é
\oint_{\mathcal{S}} \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=\frac{Q_{\text{enc}}}{\varepsilon_0},
onde \mathcal{S} é uma superfície fechada, \mathbf{E} é o campo elétrico no ponto da superfície, d\mathbf{A} é o elemento de área apontando para fora, Q_{\text{enc}} é a carga total contida dentro de \mathcal{S} e \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo.
  • Em problemas com simetria esférica o campo tem direção radial e depende apenas de r; logo escolhe-se uma superfície gaussiana esférica concêntrica de raio r. Isso permite tirar E(r) da integral.

Passo 3

Aplicação da lei de Gauss para a região externa r>R.
  • Considere uma esfera gaussiana de raio r com r>R. Por simetria, \mathbf{E}(r)=E(r)\,\hat{\mathbf{r}} (radial) e é constante em módulo sobre a superfície gaussiana. O fluxo é então
\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=E(r)\cdot 4\pi r^{2}.
  • A carga encerrada por essa superfície é a carga total Q (toda a carga está na superfície da condutora). Pela lei de Gauss:
E(r)\,4\pi r^{2}=\frac{Q}{\varepsilon_0}.
  • Resolvendo para E(r):
E(r)=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^{2}}\quad\text{para }r>R.
  • Direção: se Q>0, \mathbf{E} é radial para fora; se Q<0, é radial para dentro. Em forma vetorial:
\mathbf{E}(r)=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^{2}}\,\hat{\mathbf{r}}\quad (r>R).

Passo 4

Aplicação da lei de Gauss para a região interna r<R.
  • Para r<R escolha uma esfera gaussiana de raio r contida dentro do material condutor. Em equilíbrio eletrostático num condutor ideal:
    • O campo elétrico no interior do condutor é nulo. Isso pode ser visto de duas maneiras equivalentes:
      1. Propriedade dos condutores em equilíbrio: cargas livres se rearranjam até anular qualquer campo elétrico interno; logo \mathbf{E}=\mathbf{0} no volume metálico.
      2. Pelo teorema de Gauss: toda a carga de um condutor em equilíbrio reside na superfície externa. Assim, a carga encerrada por uma superfície dentro do metal é Q_{\text{enc}}=0; então
      \oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=0 \quad\Rightarrow\quad E(r)\,4\pi r^{2}=0\quad\Rightarrow\quad E(r)=0.
  • Conclusão:
\mathbf{E}(r)=\mathbf{0}\quad (r<R).

Passo 5

Comportamento exatamente na superfície r=R e densidade superficial de carga.
  • A densidade superficial de carga \sigma na superfície da esfera é
\sigma=\frac{Q}{4\pi R^{2}}.
  • O campo tem uma descontinuidade normal na superfície do condutor dada por (lei de Maxwell/condição de contorno)
\mathbf{E}_{\text{out}}-\mathbf{E}_{\text{in}}=\frac{\sigma}{\varepsilon_0}\,\hat{\mathbf{n}},
onde \hat{\mathbf{n}} é o vetor normal externo. Aqui \mathbf{E}_{\text{in}}=\mathbf{0} e \mathbf{E}_{\text{out}} dado pelo limite externo:
E_{\text{out}}(R)=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 R^{2}}=\frac{\sigma}{\varepsilon_0},
confirmando a condição de contorno.

Passo 6

Potencial elétrico e observações físicas rápidas (ajuda a interpretar o resultado na prova).
  • O condutor é um equipotencial: o potencial V\) é constante dentro do condutor e igual ao valor na superfície. Escolhendo \(V(\infty)=0\), \[V(r)=\begin{cases} \dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0 R}, & r\le R,\\[6pt] \dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r}, & r\ge R. \end{cases}
  • Interpretação física:
    • Fora da esfera, o campo é idêntico ao de uma carga pontual (Q] localizada no centro. Em provas: “esfera condutora carregada” → tratar como carga pontual para pontos externos.
    • Dentro do condutor, o campo é nulo: blindagem eletrostática (efeito gaiola de Faraday). Isso protege o interior de campos externos e explica por que carga só reside na superfície.]

Passo 7

Resumo rápido de como resolver esse tipo de questão na prova (dica prática).
  • Passos práticos: (1) identificar simetria esférica; (2) escolher superfície gaussiana esférica; (3) para r>R aplicar Gauss para obter E\propto 1/r^{2}; (4) para r<R lembrar que em condutor E=0; (5) calcular \sigma e checar a condição de contorno se pedirem.
  • Atenção: se a esfera fosse isolante (não metálica), a distribuição de carga e o campo interno poderiam ser diferentes — cuidado com o enunciado.

Resposta

\mathbf{E}(r)=\mathbf{0}\quad (r<R)\n
\mathbf{E}(r)=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^{2}}\,\hat{\mathbf{r}}\quad (r>R)\n
No limite r=R tem-se E_{\text{out}}(R)=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0 R^{2}}=\dfrac{\sigma}{\varepsilon_0} e E_{\text{in}}(R)=0.

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