Questão 1) (1,5 ponto) Calcule o campo elétrico de uma esfera metálica carregada em todo espaço e discuta o resultado obtido.
Passo 1
O enunciado pede: “Calcule o campo elétrico de uma esfera metálica carregada em todo espaço e discuta o resultado obtido.” Vou listar claramente o que isso significa e os dados que vou usar (não foi dado raio nem carga numérica, então uso símbolos).
- Procurar o campo elétrico
em todo o espaço: isto é, para pontos com distância do centro da esfera, cobrindo as regiões , e . - Suposições físicas padrão para “esfera metálica carregada”:
- A esfera é condutora e está em equilíbrio eletrostático.
- Tem raio
e carga total . - Centro da esfera em
(origem).
- Perguntas explícitas: calcular
para as regiões internas e externas e discutir o significado físico do resultado.
Passo 2
Escolha do método e justificativa (sem fazer contas ainda).
- Por simetria esférica e porque se pede o campo em toda a região, a maneira mais simples é usar a lei de Gauss (é o método natural para problemas com alta simetria).
- Vou explicar a lei de Gauss antes de aplicar: a lei de Gauss em forma integral é
onde
é uma superfície fechada,
é o campo elétrico no ponto da superfície,
é o elemento de área apontando para fora,
é a carga total contida dentro de
e
é a permissividade do vácuo.
- Em problemas com simetria esférica o campo tem direção radial e depende apenas de
; logo escolhe-se uma superfície gaussiana esférica concêntrica de raio . Isso permite tirar da integral.
Passo 3
Aplicação da lei de Gauss para a região externa
.
- Considere uma esfera gaussiana de raio
com . Por simetria, (radial) e é constante em módulo sobre a superfície gaussiana. O fluxo é então
- A carga encerrada por essa superfície é a carga total
(toda a carga está na superfície da condutora). Pela lei de Gauss:
- Resolvendo para
:
- Direção: se
, é radial para fora; se , é radial para dentro. Em forma vetorial:
Passo 4
Aplicação da lei de Gauss para a região interna
.
- Para
escolha uma esfera gaussiana de raio contida dentro do material condutor. Em equilíbrio eletrostático num condutor ideal: - O campo elétrico no interior do condutor é nulo. Isso pode ser visto de duas maneiras equivalentes:
- Propriedade dos condutores em equilíbrio: cargas livres se rearranjam até anular qualquer campo elétrico interno; logo
no volume metálico. - Pelo teorema de Gauss: toda a carga de um condutor em equilíbrio reside na superfície externa. Assim, a carga encerrada por uma superfície dentro do metal é
; então
- Propriedade dos condutores em equilíbrio: cargas livres se rearranjam até anular qualquer campo elétrico interno; logo
- O campo elétrico no interior do condutor é nulo. Isso pode ser visto de duas maneiras equivalentes:
- Conclusão:
Passo 5
Comportamento exatamente na superfície
e densidade superficial de carga.
- A densidade superficial de carga
na superfície da esfera é
- O campo tem uma descontinuidade normal na superfície do condutor dada por (lei de Maxwell/condição de contorno)
onde
é o vetor normal externo. Aqui
e
dado pelo limite externo:
confirmando a condição de contorno.
Passo 6
Potencial elétrico e observações físicas rápidas (ajuda a interpretar o resultado na prova).
- O condutor é um equipotencial: o potencial
- Interpretação física:
- Fora da esfera, o campo é idêntico ao de uma carga pontual (Q] localizada no centro. Em provas: “esfera condutora carregada” → tratar como carga pontual para pontos externos.
- Dentro do condutor, o campo é nulo: blindagem eletrostática (efeito gaiola de Faraday). Isso protege o interior de campos externos e explica por que carga só reside na superfície.]
Passo 7
Resumo rápido de como resolver esse tipo de questão na prova (dica prática).
- Passos práticos: (1) identificar simetria esférica; (2) escolher superfície gaussiana esférica; (3) para
aplicar Gauss para obter ; (4) para lembrar que em condutor ; (5) calcular e checar a condição de contorno se pedirem. - Atenção: se a esfera fosse isolante (não metálica), a distribuição de carga e o campo interno poderiam ser diferentes — cuidado com o enunciado.
Resposta
No limite