Questão 2) (2,5 pontos) Imagine duas esferas, uma condutora e outra dielétrica, as duas possuem carga q (tem a mesma carga). Calcule a energia armazenada nestes sistemas. Use esse resultado para justificar as cargas elétricas de um condutor estarem presentes em sua superficie.

Passo 1

O enunciado dá duas esferas, ambas com carga total \,q. Uma é condutora e a outra é dielétrica (isolante). O pedido é:
  • Calcular a energia eletrostática armazenada em cada um desses sistemas (ou seja, a energia associada ao campo elétrico gerado pelas cargas).
  • Usar o resultado para justificar por que, em um condutor em equilíbrio eletrostático, as cargas elétricas ficam na superfície.
Observações e hipóteses que vou usar (não foram pedidas, mas são necessárias para resolver de forma concreta):
  • Ambas as esferas têm o mesmo raio \,R.
  • Para a esfera dielétrica vou assumir que a carga total \,q está distribuída de forma uniforme no volume (distribuição volumétrica uniforme), que é a hipótese usual nesse tipo de exercício.
  • Vamos usar as duas fórmulas equivalentes para energia eletrostática:
    • Forma do campo: \displaystyle U=\frac{\varepsilon_0}{2}\int_{\text{todo espaço}} E^2\,dVç, onde \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo, E é o módulo do campo elétrico e a integral é sobre todo o espaço.
    • Forma da carga e potencial: \displaystyle U=\frac{1}{2}\int \rho(\mathbf r)\,\varphi(\mathbf r)\,dV, onde \rho é a densidade de carga e \varphi o potencial elétrico.
  • Vou usar a constante \displaystyle k=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0} para simplificar algumas expressões.
  • Não há necessidade de campo elétrico externo nem outras complicações: apenas o campo das cargas da esfera.

Passo 2

Relembrando uma ferramenta importante: Lei de Gauss (versão para simetria esférica).
  • Para uma distribuição esférica (ou para o exterior de uma esfera carregada), a intensidade do campo elétrico em raio r (com r\ge R) é a mesma que de uma carga pontual: E(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{q}{r^2} = \frac{kq}{r^2}.
  • Para uma distribuição uniforme de carga no volume de uma esfera, a carga encerrada por uma superfície gaussiana de raio r\le R é proporcional ao volume: \,q_{\text{enc}}=q\,(r^3/R^3). Aplicando Gauss obtém-se o campo dentro: E(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{q_{\text{enc}}}{r^2}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{q\,r}{R^3}=\frac{kq}{R^3}\,r\qquad(\text{para }0\le r\le R).
Essas duas expressões do campo (dentro e fora) serão usadas para integrar E^2 e obter a energia.

Passo 3

Energia do condutor (toda a carga na superfície).
  • Em um condutor em equilíbrio eletrostático, o campo dentro da esfera condutora é nulo ( E=0 para r<R), e fora ( r\ge R) o campo é igual ao de uma carga pontual: E(r)=\frac{kq}{r^2}\qquad(r\ge R).
  • Usamos a fórmula \displaystyle U=\frac{\varepsilon_0}{2}\int E^2\,dV. A contribuição não nula vem só do exterior ( r de R até \infty). Em coordenadas esféricas: U_{\text{condutor}}=\frac{\varepsilon_0}{2}\int_{R}^{\infty} E(r)^2\;4\pi r^2\,dr.
  • Substituindo E(r)=\dfrac{kq}{r^2}=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{q}{r^2} e simplificando passo a passo: E(r)^2=\frac{k^2 q^2}{r^4}=\frac{1}{(4\pi\varepsilon_0)^2}\,\frac{q^2}{r^4}.
U_{\text{condutor}}=\frac{\varepsilon_0}{2}\int_{R}^{\infty} \frac{1}{(4\pi\varepsilon_0)^2}\frac{q^2}{r^4}\;4\pi r^2\,dr.
Simplificando os fatores constantes:
\frac{\varepsilon_0}{2}\cdot\frac{4\pi}{(4\pi\varepsilon_0)^2}=\frac{1}{8\pi\varepsilon_0},
então
U_{\text{condutor}}=\frac{1}{8\pi\varepsilon_0}\,q^2\int_{R}^{\infty}\frac{1}{r^2}\,dr.
  • Calculando a integral: \int_{R}^{\infty}\frac{1}{r^2}\,dr=\left[-\frac{1}{r}\right]_{R}^{\infty}=\frac{1}{R}.
  • Portanto U_{\text{condutor}}=\frac{1}{8\pi\varepsilon_0}\,\frac{q^2}{R}.
  • Reescrevendo com k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}: U_{\text{condutor}}=\frac{1}{2}\,k\,\frac{q^2}{R}.
  • Comentário didático: outra forma rápida é usar U=\tfrac{1}{2}qV_{\text{superfície}}í e lembrar que o potencial da esfera carregada (toda carga na superfície) é V_{\text{surf}}=k\,q/R; daí U=\tfrac{1}{2}q\cdot kq/R, que dá o mesmo resultado.

Passo 4

Energia da esfera dielétrica com carga uniformemente distribuída (esfera isolante com densidade volumétrica constante).
  • Densidade volumétrica de carga: \rho=\frac{q}{\tfrac{4}{3}\pi R^3}=\frac{3q}{4\pi R^3}.
  • Campo elétrico: E(r)=\begin{cases} \dfrac{kq}{R^3}\,r, & 0\le r\le R,\\[6pt] \dfrac{kq}{r^2}, & r\ge R. \end{cases}
  • Energia total via \displaystyle U=\frac{\varepsilon_0}{2}\int E^2\,dV separada em duas regiões (interna: 0 a R; externa: R a \infty): U_{\text{dielétrico}}=\frac{\varepsilon_0}{2}\left[\int_{0}^{R} E(r)^2\,4\pi r^2\,dr + \int_{R}^{\infty} E(r)^2\,4\pi r^2\,dr\right].é
  • Já calculamos a contribuição externa na parte do condutor; é a mesma aqui (campo fora é idêntico): U_{\text{externa}}=\frac{1}{8\pi\varepsilon_0}\,\frac{q^2}{R}.
  • Agora a contribuição interna. Substituindo E(r)=\dfrac{kq}{R^3}r=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{q}{R^3}r: E(r)^2=\frac{1}{(4\pi\varepsilon_0)^2}\frac{q^2}{R^6}r^2.
U_{\text{interna}}=\frac{\varepsilon_0}{2}\int_{0}^{R}\frac{1}{(4\pi\varepsilon_0)^2}\frac{q^2}{R^6}r^2\;4\pi r^2\,dr.
Novamente o mesmo fator constante aparece e simplifica para 1/(8\pi\varepsilon_0):
U_{\text{interna}}=\frac{1}{8\pi\varepsilon_0}\frac{q^2}{R^6}\int_{0}^{R} r^4\,dr.
  • Integral de r^4: \int_{0}^{R} r^4\,dr=\frac{R^5}{5}.Portanto U_{\text{interna}}=\frac{1}{8\pi\varepsilon_0}\frac{q^2}{R^6}\cdot\frac{R^5}{5}=\frac{1}{8\pi\varepsilon_0}\,\frac{q^2}{5R}.
  • Somando as duas contribuições: U_{\text{dielétrico}}=U_{\text{interna}}+U_{\text{externa}}=\frac{1}{8\pi\varepsilon_0}\left(\frac{1}{R}+\frac{1}{5R}\right)q^2=\frac{1}{8\pi\varepsilon_0}\frac{6}{5}\frac{q^2}{R}.é
  • Simplificando usando k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}: U_{\text{dielétrico}}=\frac{3}{5}\,k\,\frac{q^2}{R}.é]

Passo 5

Comparação e interpretação física (a parte que justifica por que as cargas ficam na superfície do condutor).
  • Valores finais (resumindo os fatores numéricos): U_{\text{condutor}}=\frac{1}{2}\,k\,\frac{q^2}{R}=0{,}5\,k\,\frac{q^2}{R}, \qquad U_{\text{dielétrico}}=\frac{3}{5}\,k\,\frac{q^2}{R}=0{,}6\,k\,\frac{q^2}{R}.é
  • Interpretação: para a mesma carga total q e mesmo raio R, a configuração com toda a carga concentrada na superfície (condutor) tem energia menor ( 0{,}5\,kq^2/R) do que a configuração com carga distribuída uniformemente no volume ( 0{,}6\,kq^2/R). Em eletrostática, cargas livres se movem até alcançar um mínimo de energia (ou um equilíbrio estável) sujeito às restrições do sistema. Em um condutor as cargas são livres para se moverem; elas se rearranjam de modo a minimizar a energia do sistema. Esse rearranjo resulta em campo nulo no interior e carga na superfície — exatamente a configuração de menor energia possível para dada carga total e dado contorno condutor.
  • Em outras palavras: se alguma carga ficasse no interior de um condutor, haveria campo interno e energia adicional; permitindo que cargas se movam para a superfície elas reduzem a energia armazenada. Por isso, em equilíbrio eletrostático, as cargas livres de um condutor residem sobre a superfície.

Resposta

U_{\text{condutor}}=\dfrac{1}{2}\,k\,\dfrac{q^{2}}{R}=\dfrac{1}{8\pi\varepsilon_{0}}\,\dfrac{q^{2}}{R}.
U_{\text{dielétrico (uniforme)}}=\dfrac{3}{5}\,k\,\dfrac{q^{2}}{R}=\dfrac{3}{5}\cdot\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\,\dfrac{q^{2}}{R}.é
Justificativa: como U_{\text{condutor}}<U_{\text{dielétrico}}é, cargas livres movem-se até a superfície para minimizar a energia; por isso, em equilíbrio eletrostático, a carga de um condutor fica na superfície.

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