Questão 3 (Valor 2,5 pts.)
Um fio retilíneo de comprimento
está uniformemente carregado com densidade línear de carga
.
(b) Calcule via Lei de Gauss o campo elétrico num ponto a uma distância
da perpendícular do fio (faça
).
Um fio retilíneo de comprimento
(b) Calcule via Lei de Gauss o campo elétrico num ponto a uma distância
Passo 1
O enunciado nos dá um fio retilíneo de comprimento
carregado com densidade linear de carga
. Pede-se calcular, usando a Lei de Gauss, o campo elétrico num ponto que está a uma distância
da perpendicular ao fio, no caso limite
.
Informações relevantes fornecidas:
- O fio tem densidade linear de carga
(unidade: ). - A distância do ponto até a reta (perpendicular ao fio) é
(unidade: ). - Deve-se tomar o limite
(fio infinito idealizado).
O que é pedido:
- Calcular o campo elétrico
(módulo e direção) naquele ponto, assumindo o fio efetivamente infinito.
Passo 2
Por que usar a Lei de Gauss e qual superfície escolher (explicação didática)?
- A Lei de Gauss diz que a integral do fluxo elétrico pela superfície fechada é igual à carga total dentro da superfície dividida por
:
Aqui
é o campo elétrico,
é o vetor área (magnitude igual à área elementar e direção normal para fora da superfície),
é a carga encerrada e
é a permissividade elétrica do vácuo.
-
Para um fio longo e uniformemente carregado, por simetria o campo elétrico em pontos equidistantes do fio tem a mesma magnitude e aponta radialmente (perpendicular ao fio). Essa alta simetria torna a Lei de Gauss muito conveniente.
-
A superfície de Gauss adequada é um cilindro de raio
e comprimento coaxial com o fio. Vou chamar o comprimento do trecho do cilindro (não confundir com do enunciado); depois tomamos (o fio) enquanto é apenas uma escolha arbitrária do comprimento do cilindro para aplicar a lei.
Passo 3
Desenho mental e definição das grandezas usadas:
- Escolhe-se um cilindro de raio
e comprimento , cujo eixo coincide com o fio. - A carga total contida dentro do cilindro (isto é, na porção do fio que atravessa o cilindro de comprimento
) é
pois
é carga por unidade de comprimento e o trecho preso tem comprimento
.
- O cilindro possui três partes na superfície fechada: a superfície lateral curva e as duas tampas circulares (extremidades). Cada pedaço tem vetor área bem definido:
- Superfície lateral: vetores
apontam radialmente para fora, paralelos à direção do campo elétrico por simetria. - Tampas circulares: vetores
apontam ao longo do eixo do cilindro (para cima e para baixo), perpendiculares ao campo elétrico (que é radial). Portanto o fluxo pelas tampas será zero (porque nelas).
- Superfície lateral: vetores
Passo 4
Aplicando a Lei de Gauss explicitamente (cálculo do fluxo):
- Pela análise anterior, apenas a superfície lateral contribui para o fluxo. Nessa superfície lateral, por simetria, o campo tem mesma magnitude
em todo ponto e é paralelo ao vetor área. A área lateral do cilindro é
- O fluxo total é então
- Pela Lei de Gauss,
Passo 5
Isolando
e discutindo o limite
:
- Cancelando
dos dois lados (o valor de foi arbitrário, desde que finito), obtemos
- A justificativa do limite
é que ele garante a simetria translacional necessária para que o campo dependa apenas da distância radial e seja dirigido radialmente. No procedimento acima usamos apenas um trecho finito do cilindro para aplicar a lei; depois vemos que cancela, logo o resultado vale independentemente de qual trecho escolhemos, tornando-o válido para o fio efetivamente infinito.
Passo 6
Direção e sinal do campo (interpretação física simples):
- A expressão acima é o módulo do campo elétrico a uma distância
do fio. A direção é radial, perpendicular ao fio. - Em notação vetorial, tomando
como o versor radial (apontando para fora do eixo do fio), o campo é
- Se
o campo aponta radialmente para fora; se aponta para dentro (direção oposta a ).