Questão 3 (Valor 2,5 pts.)
Um fio retilíneo de comprimento l está uniformemente carregado com densidade línear de carga \lambda.
(b) Calcule via Lei de Gauss o campo elétrico num ponto a uma distância d da perpendícular do fio (faça l \rightarrow \infty ).

Passo 1

O enunciado nos dá um fio retilíneo de comprimento l carregado com densidade linear de carga \lambda. Pede-se calcular, usando a Lei de Gauss, o campo elétrico num ponto que está a uma distância d da perpendicular ao fio, no caso limite l \rightarrow \infty.
Informações relevantes fornecidas:
  • O fio tem densidade linear de carga \lambda (unidade: \mathrm{C/m}).
  • A distância do ponto até a reta (perpendicular ao fio) é d (unidade: \mathrm{m}).
  • Deve-se tomar o limite l \rightarrow \infty (fio infinito idealizado).
O que é pedido:
  • Calcular o campo elétrico \mathbf{E} (módulo e direção) naquele ponto, assumindo o fio efetivamente infinito.

Passo 2

Por que usar a Lei de Gauss e qual superfície escolher (explicação didática)?
  • A Lei de Gauss diz que a integral do fluxo elétrico pela superfície fechada é igual à carga total dentro da superfície dividida por \varepsilon_0:
\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} = \frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_0}.
Aqui \mathbf{E} é o campo elétrico, d\mathbf{A} é o vetor área (magnitude igual à área elementar e direção normal para fora da superfície), Q_{\text{int}} é a carga encerrada e \varepsilon_0 é a permissividade elétrica do vácuo.
  • Para um fio longo e uniformemente carregado, por simetria o campo elétrico em pontos equidistantes do fio tem a mesma magnitude e aponta radialmente (perpendicular ao fio). Essa alta simetria torna a Lei de Gauss muito conveniente.
  • A superfície de Gauss adequada é um cilindro de raio d e comprimento L coaxial com o fio. Vou chamar L o comprimento do trecho do cilindro (não confundir com l do enunciado); depois tomamos l\rightarrow\infty (o fio) enquanto L é apenas uma escolha arbitrária do comprimento do cilindro para aplicar a lei.

Passo 3

Desenho mental e definição das grandezas usadas:
  • Escolhe-se um cilindro de raio d e comprimento L, cujo eixo coincide com o fio.
  • A carga total contida dentro do cilindro (isto é, na porção do fio que atravessa o cilindro de comprimento L) é
Q_{\text{int}}=\lambda L,
pois \lambda é carga por unidade de comprimento e o trecho preso tem comprimento L.
  • O cilindro possui três partes na superfície fechada: a superfície lateral curva e as duas tampas circulares (extremidades). Cada pedaço tem vetor área bem definido:
    • Superfície lateral: vetores d\mathbf{A} apontam radialmente para fora, paralelos à direção do campo elétrico por simetria.
    • Tampas circulares: vetores d\mathbf{A} apontam ao longo do eixo do cilindro (para cima e para baixo), perpendiculares ao campo elétrico (que é radial). Portanto o fluxo pelas tampas será zero (porque \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=0 nelas).

Passo 4

Aplicando a Lei de Gauss explicitamente (cálculo do fluxo):
  • Pela análise anterior, apenas a superfície lateral contribui para o fluxo. Nessa superfície lateral, por simetria, o campo tem mesma magnitude E em todo ponto e é paralelo ao vetor área. A área lateral do cilindro é
A_{\text{lat}} = 2\pi d L.
  • O fluxo total é então
\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} = E \times A_{\text{lat}} = E \, (2\pi d L).
  • Pela Lei de Gauss,
E \, (2\pi d L) = \frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_0} = \frac{\lambda L}{\varepsilon_0}.

Passo 5

Isolando E e discutindo o limite l\rightarrow\infty:
  • Cancelando L dos dois lados (o valor de L foi arbitrário, desde que finito), obtemos
E = \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 d}.
  • A justificativa do limite l\rightarrow\infty é que ele garante a simetria translacional necessária para que o campo dependa apenas da distância radial d e seja dirigido radialmente. No procedimento acima usamos apenas um trecho finito L do cilindro para aplicar a lei; depois vemos que L cancela, logo o resultado vale independentemente de qual trecho escolhemos, tornando-o válido para o fio efetivamente infinito.

Passo 6

Direção e sinal do campo (interpretação física simples):
  • A expressão acima é o módulo do campo elétrico a uma distância d do fio. A direção é radial, perpendicular ao fio.
  • Em notação vetorial, tomando \hat{r} como o versor radial (apontando para fora do eixo do fio), o campo é
\mathbf{E} = \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 d}\,\hat{r}.
  • Se \lambda>0 o campo aponta radialmente para fora; se \lambda<0 aponta para dentro (direção oposta a \hat{r}).

Resposta

\mathbf{E}=\dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 d}\,\hat{r}

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