QUESTÃO 4 (1,6 ponto) Calcule f’’(3).
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede uma coisa clara:
- Função dada:
. - Pedido: calcular
, ou seja, o valor da segunda derivada de no ponto .
Passo 2
O que vamos fazer (sem detalhes técnicos ainda): primeiro calcular
, a derivada primeira de
; depois derivar
para obter
; por fim avaliar
em
.
Antes de aplicar as fórmulas, lembro duas regras essenciais que vamos usar:
Antes de aplicar as fórmulas, lembro duas regras essenciais que vamos usar:
- Regra do expoente (power rule): se
com constante, então a derivada é
onde
é a derivada da função interna
. Aqui
é a expressão dentro do expoente.
- Regra da cadeia (chain rule): é exatamente a multiplicação por
que aparece na power rule; sempre que tiver uma função composta, primeiro derivamos a parte externa e multiplicamos pela derivada da parte interna.
Vou aplicar isso passo a passo.
Passo 3
Reescrevendo a função em forma de potência para aplicar as regras de derivação:
Aqui a função interna é
e o expoente é
.
Passo 4
Calcular
usando power rule + chain rule.
- Derivada da parte externa:
. - Derivada da parte interna:
.
Multiplicando:
Agora simplifico os fatores numéricos:
. Assim
Se preferir em raiz:
Passo 5
Calcular
derivando
. Vou usar novamente chain rule sobre
e lembrar que
é constante.
Começo com a forma
.
- Derivada do fator constante
é , então fica vezes a derivada de . - Derivada de
pela power rule:
onde o
é
de
.
Multiplicando tudo:
Agora simplifico os coeficientes numéricos:
, e
. Portanto
Em forma de fração com raiz:
Passo 6
Avaliar
em
.
Calculo interno:
. Logo
Também pode escrever
Se quiser um valor aproximado (apenas para checar),
então
e
. Mas a forma exata é preferível.
Passo 7
Dica rápida para a prova: para
vale a fórmula geral
que no caso
dá exatamente o resultado que encontramos. Respira fundo — essa derivação fica automática com prática.