QUESTÃO 4 (1,6 ponto) Calcule f’’(3).
f(x)=\sqrt{4 x+1}

Passo 1

O enunciado dá a função f e pede uma coisa clara:
  • Função dada: f(x)=\sqrt{4x+1}.
  • Pedido: calcular f''(3), ou seja, o valor da segunda derivada de f no ponto x=3.

Passo 2

O que vamos fazer (sem detalhes técnicos ainda): primeiro calcular f'(x), a derivada primeira de f; depois derivar f'(x) para obter f''(x); por fim avaliar f''(x) em x=3.
Antes de aplicar as fórmulas, lembro duas regras essenciais que vamos usar:
  • Regra do expoente (power rule): se g(x)=u(x)^{n} com n constante, então a derivada é
g'(x)=n\,u(x)^{\,n-1}\cdot u'(x),
onde u'(x) é a derivada da função interna u(x). Aqui u(x) é a expressão dentro do expoente.
  • Regra da cadeia (chain rule): é exatamente a multiplicação por u'(x) que aparece na power rule; sempre que tiver uma função composta, primeiro derivamos a parte externa e multiplicamos pela derivada da parte interna.
Vou aplicar isso passo a passo.

Passo 3

Reescrevendo a função em forma de potência para aplicar as regras de derivação:
f(x)=(4x+1)^{1/2}.
Aqui a função interna é u(x)=4x+1 e o expoente é n=\tfrac12.

Passo 4

Calcular f'(x) usando power rule + chain rule.
  • Derivada da parte externa: n(4x+1)^{n-1}=\tfrac12(4x+1)^{-1/2}.
  • Derivada da parte interna: u'(x)=\dfrac{d}{dx}(4x+1)=4.
Multiplicando:
f'(x)=\tfrac12(4x+1)^{-1/2}\cdot 4.
Agora simplifico os fatores numéricos: \tfrac12\cdot 4=2. Assim
f'(x)=2(4x+1)^{-1/2}.
Se preferir em raiz:
f'(x)=\dfrac{2}{\sqrt{4x+1}}.

Passo 5

Calcular f''(x) derivando f'(x). Vou usar novamente chain rule sobre (4x+1)^{-1/2} e lembrar que 2 é constante.
Começo com a forma f'(x)=2(4x+1)^{-1/2}.
  • Derivada do fator constante 2 é 0, então fica 2 vezes a derivada de (4x+1)^{-1/2}.
  • Derivada de (4x+1)^{-1/2} pela power rule:
(-\tfrac12)(4x+1)^{-3/2}\cdot (4),
onde o 4 é u'(x) de u(x)=4x+1.
Multiplicando tudo:
f''(x)=2\cdot\bigl(-\tfrac12\bigr)\cdot 4\cdot (4x+1)^{-3/2}.
Agora simplifico os coeficientes numéricos: 2\cdot(-\tfrac12)=-1, e -1\cdot 4=-4. Portanto
f''(x)=-4(4x+1)^{-3/2}.
Em forma de fração com raiz:
f''(x)=-\dfrac{4}{(4x+1)^{3/2}}=-\dfrac{4}{(4x+1)\sqrt{4x+1}}.

Passo 6

Avaliar f''(x) em x=3.
Calculo interno: 4\cdot 3+1=12+1=13. Logo
f''(3)=-\dfrac{4}{13^{3/2}}.
Também pode escrever
f''(3)=-\dfrac{4}{13\sqrt{13}}.
Se quiser um valor aproximado (apenas para checar), \sqrt{13}\approx 3,606 então 13^{3/2}\approx 46,87 e f''(3)\approx -0,0853. Mas a forma exata é preferível.

Passo 7

Dica rápida para a prova: para f(x)=\sqrt{ax+b}=(ax+b)^{1/2} vale a fórmula geral
f''(x)=-\dfrac{a^{2}}{4\,(ax+b)^{3/2}},
que no caso a=4,b=1 dá exatamente o resultado que encontramos. Respira fundo — essa derivação fica automática com prática.

Resposta

-\dfrac{4}{13^{3/2}}

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