Calcule os limites abaixo.
\lim _{x \rightarrow 5^{+}}(x-5)^{x-5}

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{x\to 5^{+}} (x-5)^{x-5}.
Informações importantes que o enunciado dá:
  • A aproximação é pela direita ( x\to5^{+}), portanto (x-5)>0 nos pontos considerados (a expressão está bem definida).
  • A expressão tem a forma base elevada a expoente que ambos tendem a zero quando x\to5^{+} (pois x-5\to0^{+}).

Passo 2

Fazer a substituição que simplifica a notação. Defina
t = x-5.
Quando x\to5^{+} temos t\to0^{+}. Assim o limite vira
\lim_{x\to5^{+}}(x-5)^{x-5}=\lim_{t\to0^{+}} t^{t}.

Passo 3

Para lidar com potências com base e expoente variáveis, use a identidade exponencial
t^{t} = e^{\,t\ln t},
válida para t>0 (aqui t>0 porque estamos vindo de x>5). Como a função exponencial é contínua, se existir o limite
L=\lim_{t\to0^{+}} t\ln t,
então
\lim_{t\to0^{+}} t^{t} = e^{L}.
Portanto basta calcular L.

Passo 4

Calcule L=\lim_{t\to0^{+}} t\ln t. Reescreva como uma razão para poder aplicar L’Hôpital:
t\ln t = \frac{\ln t}{1/t}.
Quando t\to0^{+} temos \ln t\to -\infty e 1/t\to +\infty, então a forma é indeterminada do tipo -\infty/\infty, podendo aplicar L’Hôpital. Derivando numerador e denominador:
  • \dfrac{d}{dt}(\ln t)=\dfrac{1}{t}.
  • \dfrac{d}{dt}(1/t)=-\dfrac{1}{t^{2}}.
Aplicando L’Hôpital:
L=\lim_{t\to0^{+}}\frac{\ln t}{1/t} =\lim_{t\to0^{+}}\frac{\tfrac{1}{t}}{-\tfrac{1}{t^{2}}} =\lim_{t\to0^{+}} -t = 0.

Passo 5

Como L=0, volta-se à expressão exponencial:
\lim_{t\to0^{+}} t^{t} = e^{L} = e^{0} = 1.
Intuição rápida: \ln t é grande e negativo quando t é muito pequeno, mas é multiplicado por t\to0, e esse produto tende a zero; por isso t^{t}=e^{t\ln t} tende a 1.

Resposta

1

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