Calcule os limites abaixo.
Passo 1
O enunciado pede o limite
Informações importantes que o enunciado dá:
- A aproximação é pela direita (
), portanto nos pontos considerados (a expressão está bem definida). - A expressão tem a forma base elevada a expoente que ambos tendem a zero quando
(pois ).
Passo 2
Fazer a substituição que simplifica a notação. Defina
Quando
temos
. Assim o limite vira
Passo 3
Para lidar com potências com base e expoente variáveis, use a identidade exponencial
válida para
(aqui
porque estamos vindo de
). Como a função exponencial é contínua, se existir o limite
então
Portanto basta calcular
.
Passo 4
Calcule
. Reescreva como uma razão para poder aplicar L’Hôpital:
Quando
temos
e
, então a forma é indeterminada do tipo
, podendo aplicar L’Hôpital. Derivando numerador e denominador:
-
. -
.
Aplicando L’Hôpital:
Passo 5
Como
, volta-se à expressão exponencial:
Intuição rápida:
é grande e negativo quando
é muito pequeno, mas é multiplicado por
, e esse produto tende a zero; por isso
tende a
.