Calcule os limites abaixo.
Passo 1
O enunciado pede o limite quando
da expressão
Informações dadas:
- A expressão é a multiplicação de um seno por uma cossecante.
- Não há outros dados numéricos; o único parâmetro que tende a zero é
.
O que precisamos calcular: o valor numérico do limite
Passo 2
Primeiro reescrevemos a função usando a definição da cossecante. Lembre-se que a cossecante é o recíproco do seno. Em notação matemática:
Portanto a expressão fica
Passo 3
Vamos usar um resultado padrão sobre limites de seno (é um dos limites mais importantes e úteis):
Explicando essa ideia de modo simples e intuitivo: para ângulos muito pequenos, o arco é praticamente igual à altura do seno, logo
comporta-se como
. Uma justificativa clássica usa desigualdades geométricas (teorema do aperto / squeeze), que dão para mostrar que para
perto de zero vale
, e como
quando
, pela regra do aperto obtemos
. Esse limite vale para qualquer variável
que tenda a zero.
Também será útil a variação multiplicativa desse limite: para qualquer constante
,
ou seja
se comporta como
quando
.
Passo 4
Agora aplicamos uma manipulação algébrica para usar o limite anterior. Escrevemos
Isto é só multiplicar e dividir por
e por
de forma conveniente. Observe que
para
.
Passo 5
Tomamos limite em ambos os lados quando
. Usando os limites conhecidos:
e a parte constante
fica fora do limite. Portanto