Calcule os limites abaixo.
\lim _{x \rightarrow 0} \operatorname{sen}(2 x) \operatorname{cossec}(5 x)

Passo 1

O enunciado pede o limite quando x \to 0 da expressão
\operatorname{sen}(2x)\,\operatorname{cossec}(5x).
Informações dadas:
  • A expressão é a multiplicação de um seno por uma cossecante.
  • Não há outros dados numéricos; o único parâmetro que tende a zero é x.
O que precisamos calcular: o valor numérico do limite
\lim_{x\to 0}\operatorname{sen}(2x)\,\operatorname{cossec}(5x).

Passo 2

Primeiro reescrevemos a função usando a definição da cossecante. Lembre-se que a cossecante é o recíproco do seno. Em notação matemática:
\operatorname{cossec}(y)=\csc(y)=\frac{1}{\sin(y)}.
Portanto a expressão fica
\operatorname{sen}(2x)\,\operatorname{cossec}(5x)=\frac{\sin(2x)}{\sin(5x)}.

Passo 3

Vamos usar um resultado padrão sobre limites de seno (é um dos limites mais importantes e úteis):
\lim_{t\to 0}\frac{\sin t}{t}=1.
Explicando essa ideia de modo simples e intuitivo: para ângulos muito pequenos, o arco é praticamente igual à altura do seno, logo \sin t comporta-se como t. Uma justificativa clássica usa desigualdades geométricas (teorema do aperto / squeeze), que dão para mostrar que para t perto de zero vale \cos t \le \dfrac{\sin t}{t}\le 1, e como \cos t\to 1 quando t\to 0, pela regra do aperto obtemos \dfrac{\sin t}{t}\to 1. Esse limite vale para qualquer variável t que tenda a zero.
Também será útil a variação multiplicativa desse limite: para qualquer constante a,
\lim_{x\to 0}\frac{\sin(ax)}{ax}=1,
ou seja \sin(ax) se comporta como ax quando x\to 0.

Passo 4

Agora aplicamos uma manipulação algébrica para usar o limite anterior. Escrevemos
\frac{\sin(2x)}{\sin(5x)} = \left(\frac{\sin(2x)}{2x}\right) \left(\frac{2x}{5x}\right) \left(\frac{5x}{\sin(5x)}\right).
Isto é só multiplicar e dividir por 2x e por 5x de forma conveniente. Observe que
\frac{2x}{5x}=\frac{2}{5}
para x\neq 0.

Passo 5

Tomamos limite em ambos os lados quando x\to 0. Usando os limites conhecidos:
\lim_{x\to 0}\frac{\sin(2x)}{2x}=1, \qquad \lim_{x\to 0}\frac{5x}{\sin(5x)}=1,
e a parte constante \dfrac{2}{5} fica fora do limite. Portanto
\lim_{x\to 0}\frac{\sin(2x)}{\sin(5x)} = \left(\lim_{x\to 0}\frac{\sin(2x)}{2x}\right) \cdot\frac{2}{5} \cdot\left(\lim_{x\to 0}\frac{5x}{\sin(5x)}\right) =1\cdot\frac{2}{5}\cdot1=\frac{2}{5}.

Resposta

\dfrac{2}{5}

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