Questão 5. (1,0 ponto) Calcule a integral
\iint_{R} y e^{-x y} d A
onde R=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} ; 0 \leq x \leq 2\right. e \left.0 \leq y \leq 3\right\}.

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral dupla
I=\iint_{R}y\,e^{-x y}\,dA
onde R=\{(x,y)\mid 0\le x\le2,\;0\le y\le3\}. Esse problema usa o Teorema de Fubini para escrever a integral como iterada.

Passo 2

Escolhemos integrar primeiro em x, tratando y como constante. Assim,
I=\int_{y=0}^{3}\left(\int_{x=0}^{2}y\,e^{-x y}\,dx\right)dy.

Passo 3

Na integral interna, y é constante, então
\int_{0}^{2}y\,e^{-x y}\,dx =y\int_{0}^{2}e^{-x y}\,dx =y\Bigl[-\tfrac{1}{y}e^{-x y}\Bigr]_{0}^{2} =-e^{-2y}+1.

Passo 4

Substituindo na integral em y, fica
I=\int_{0}^{3}\bigl(1-e^{-2y}\bigr)\,dy.
Agora integramos cada termo:
\int_{0}^{3}1\,dy=3, \qquad \int_{0}^{3}e^{-2y}\,dy =\Bigl[-\tfrac{1}{2}e^{-2y}\Bigr]_{0}^{3} =-\tfrac{1}{2}e^{-6}+\tfrac{1}{2}.
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I =3-\Bigl(-\tfrac{1}{2}e^{-6}+\tfrac{1}{2}\Bigr) =3-\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{2}e^{-6} =\tfrac{5}{2}+\tfrac{1}{2}e^{-6}.

Resposta

\frac{5}{2}+\frac{1}{2}e^{-6}.

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