Questão 3. ( \mathbf{2 , 0} pontos) Determine em qual ponto do paraboloide y=x^{2}+z^{2} o plano tangente é paralelo ao plano x+2 y+2 z=2.

Passo 1

O enunciado pede o ponto do paraboloide definido por y = x^2 + z^2 onde o plano tangente é paralelo ao plano
x + 2y + 2z = 2.
Este é um problema de geometria diferencial de superfícies: vamos usar que o vetor normal ao plano tangente em um ponto da superfície é dado pelo gradiente de uma função F(x,y,z) cuja zero-lugar é a superfície.

Passo 2

Definimos
F(x,y,z) = x^2 + z^2 - y,
de modo que a superfície y = x^2+z^2 é \{(x,y,z)\mid F(x,y,z)=0\}. O gradiente de F é
\nabla F(x,y,z) = \bigl(2x,\,-1,\,2z\bigr),
que é o vetor normal ao plano tangente da superfície em (x,y,z).

Passo 3

O plano dado x+2y+2z=2 tem vetor normal
\mathbf{n} = (1,2,2).
Para que o plano tangente seja paralelo a esse plano, seus vetores normais devem ser paralelos, ou seja,
\nabla F(x,y,z) = \lambda\,(1,2,2)
para algum escalar \lambda.

Passo 4

Comparando componentes de \nabla F(x,y,z) = (2x,-1,2z) com \lambda(1,2,2), obtemos o sistema
2x = \lambda,\quad -1 = 2\lambda,\quad 2z = 2\lambda.
Da segunda equação vem \lambda = -\tfrac12. Substituindo nas outras,
2x = -\tfrac12 \implies x = -\tfrac14, \qquad 2z = 2\bigl(-\tfrac12\bigr)\implies z = -\tfrac12.

Passo 5

Como (x,y,z) deve pertencer ao paraboloide, temos
y = x^2 + z^2 = \bigl(-\tfrac14\bigr)^2 + \bigl(-\tfrac12\bigr)^2 = \tfrac{1}{16} + \tfrac{1}{4} = \tfrac{1}{16} + \tfrac{4}{16} = \tfrac{5}{16}.

Resposta

O ponto solicitado é \bigl(-\tfrac14,\tfrac{5}{16},-\tfrac12\bigr).

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