Questão 3. (
pontos) Determine em qual ponto do paraboloide
o plano tangente é paralelo ao plano
.
Passo 1
O enunciado pede o ponto do paraboloide definido por
onde o plano tangente é paralelo ao plano
Este é um problema de geometria diferencial de superfícies: vamos usar que o vetor normal ao plano tangente em um ponto da superfície é dado pelo gradiente de uma função
cuja zero-lugar é a superfície.
Passo 2
Definimos
de modo que a superfície
é
. O gradiente de
é
que é o vetor normal ao plano tangente da superfície em
.
Passo 3
O plano dado
tem vetor normal
Para que o plano tangente seja paralelo a esse plano, seus vetores normais devem ser paralelos, ou seja,
para algum escalar
.
Passo 4
Comparando componentes de
com
, obtemos o sistema
Da segunda equação vem
. Substituindo nas outras,
Passo 5
Como
deve pertencer ao paraboloide, temos
Resposta
O ponto solicitado é
.