Questão 4. (
pontos) Use o método dos multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo da função
sobre a superfície
.
Passo 1
O enunciado pede usar o método dos multiplicadores de Lagrange para achar os extremos de
sujeito à restrição
Vamos, portanto, resolver
juntamente com
.
Passo 2
Calculemos os gradientes e escrevamos o sistema:
Logo as equações de Lagrange são
acompanhadas de
Passo 3
Da equação
seguem-se dois casos relevantes:
-
. -
(quando ).
Passo 4
Caso
.
As outras duas equações viram
As outras duas equações viram
Na restrição
resta
, ou seja
.
Assim os pontos são
Assim os pontos são
com
Passo 5
Caso
.
Da restrição vem . As equações de Lagrange dão
Da restrição vem
Para satisfazer
só cabe
, e daí
, ou seja
,
.
Os pontos críticos são
Os pontos críticos são
com
Passo 6
Comparemos os valores de
:
- Nos pontos
temos . - Nos pontos
temos .
Como a superfície
é não-compacta,
pode crescer indefinidamente, logo não existe máximo global. O menor valor global, porém, é
.
Resposta
Mínimo de
vale
, atingido em
e
.
Não há valor máximo de sobre a superfície.
Não há valor máximo de