Questão 4. ( \mathbf{2 , 5} pontos) Use o método dos multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo da função f(x, y, z)=x^{2}+y^{2}+z^{2} sobre a superfície y^{2}-x z=4.

Passo 1

O enunciado pede usar o método dos multiplicadores de Lagrange para achar os extremos de
f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2
sujeito à restrição
g(x,y,z)=y^2 - xz - 4 = 0.
Vamos, portanto, resolver
\nabla f = \lambda \,\nabla g
juntamente com g(x,y,z)=0.

Passo 2

Calculemos os gradientes e escrevamos o sistema:
\nabla f = (2x,\,2y,\,2z), \quad \nabla g = (-z,\,2y,\,-x).
Logo as equações de Lagrange são
2x = \lambda(-z), \quad 2y = \lambda(2y), \quad 2z = \lambda(-x),
acompanhadas de
y^2 - xz = 4.

Passo 3

Da equação
2y = 2y\,\lambda
seguem-se dois casos relevantes:
  1. y=0.
  2. \lambda=1 (quando y\neq0).

Passo 4

Caso \lambda=1.
As outras duas equações viram
2x = -z \;\Longrightarrow\; z=-2x,
2z = -x \;\Longrightarrow\; 2(-2x)=-x \;\Longrightarrow\; -4x=-x \;\Longrightarrow\; x=0,\;z=0.
Na restrição y^2 - xz=4 resta y^2=4, ou seja y=\pm2.
Assim os pontos são
(0,2,0)\quad\text{e}\quad(0,-2,0),
com
f(0,\pm2,0)=0^2+(\pm2)^2+0^2=4.

Passo 5

Caso y=0.
Da restrição vem xz=-4. As equações de Lagrange dão
\lambda = -\frac{2x}{z}, \quad -\frac{2x}{z}\,x = -2z \;\Longrightarrow\; \frac{2x^2}{z}=2z \;\Longrightarrow\; x^2=z^2 \;\Longrightarrow\; z=\pm x.
Para satisfazer xz=-4 só cabe z=-x, e daí x^2=4, ou seja x=\pm2, z=\mp2.
Os pontos críticos são
(2,0,-2)\quad\text{e}\quad(-2,0,2),
com
f(\pm2,0,\mp2)=2^2+0^2+(-2)^2=8.

Passo 6

Comparemos os valores de f:
  • Nos pontos (0,\pm2,0) temos f=4.
  • Nos pontos (\pm2,0,\mp2) temos f=8.
Como a superfície y^2 - xz =4 é não-compacta, f pode crescer indefinidamente, logo não existe máximo global. O menor valor global, porém, é 4.

Resposta

Mínimo de f vale 4, atingido em (0,2,0) e (0,-2,0).
Não há valor máximo de f sobre a superfície.

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