Questão 3 (1,0 ponto) Considere os pontos A=(1,1) e B=(-1,3) e a reta r que passa por eles.
a) Determine o ponto P pertencente à reta r tal que \|\overrightarrow{P A}\|=\|\overrightarrow{P B}\|.
b) Determine as equações paramétricas das retas s_{1} e s_{2} que são paralelas à reta r e distam 2 \sqrt{2} da reta r.
Passo 1
O enunciado dá dois pontos e uma reta passando por eles:
Ponto A=(1,1).
Ponto B=(-1,3).
A reta r passa por A e B.
O que é pedido:
a) Determinar o ponto P pertencente à reta r tal que \|\overrightarrow{PA}\|=\|\overrightarrow{PB}\| (ou seja, P está na reta e tem a mesma distância a A e a B).
b) Determinar equações paramétricas das retas s_{1} e s_{2} que são paralelas à reta r e distam 2\sqrt{2} de r.
Passo 2
Vamos representar a reta r de forma conveniente. Primeiro obtenho o vetor diretor de r usando A e B:
Posso simplificar o vetor diretor para \overrightarrow{v}=(-1,1) (multiplicando por um escalar não nulo não muda a direção). Uma equação paramétrica para r tomando A como ponto inicial é:
\text{reta }r:\quad (x,y) = (1,1) + t(-1,1),
ou seja, em coordenadas paramétricas
x=1-t,\qquad y=1+t,\qquad t\in\mathbb{R}.
Passo 3
Resolvendo (a): representação genérica de um ponto P em r e condição de igual distância. Seja P um ponto em r com parâmetro t, então
P=(1-t,\;1+t).
A condição \|\overrightarrow{PA}\|=\|\overrightarrow{PB}\| é equivalente à igualdade dos quadrados das distâncias (para evitar raízes):
Como (t-2)^{2}=(2-t)^{2}, os dois termos são iguais, então o lado direito vale 2(2-t)^{2}. Assim
2t^{2}=2(2-t)^{2}.
Dividindo por 2:
t^{2}=(2-t)^{2}.
Tomando raiz quadrada (ou desenvolvendo) leva a duas possibilidades, mas ambas coalescem aqui:
t=2-t \quad\text{ou}\quad t=-(2-t).
A primeira dá 2t=2\Rightarrow t=1. A segunda dá t=-2+t\Rightarrow 0=-2 (impossível). Portanto
t=1.
Substituindo em P=(1-t,1+t) obtemos
P=(1-1,\;1+1)=(0,2).
Observação rápida: geometricamente este P é o ponto médio de AB, como era de se esperar, pois o único ponto de uma reta que está igualmente distante de A e B é o ponto médio do segmento AB.
Passo 6
Agora (b): queremos duas retas paralelas a r a uma distância d=2\sqrt{2} de r. Estratégia: obter um vetor normal a r, normalizá-lo e deslocar a reta r ao longo desse vetor unitário por \pm d.
Um vetor normal a \overrightarrow{v}=(-1,1) é, por exemplo, \overrightarrow{n}=(1,1) porque \overrightarrow{v}\cdot\overrightarrow{n}=(-1)\cdot1+1\cdot1=0. O comprimento de \overrightarrow{n} é
Checagem rápida (opcional, mas didática): verifico que a distância entre r e s_{1} é realmente 2\sqrt{2}. A distância entre duas retas paralelas pode ser calculada tomando um ponto de uma e projetando no normal até a outra; por exemplo, distância entre r e s_{1} é o comprimento do vetor (2,2), que é
\sqrt{2^{2}+2^{2}}=\sqrt{8}=2\sqrt{2},
como pedido. Mesma conta para s_{2} com deslocamento (-2,-2).