Questão 3 (1,0 ponto) Considere os pontos A=(1,1) e B=(-1,3) e a reta r que passa por eles.
a) Determine o ponto P pertencente à reta r tal que \|\overrightarrow{P A}\|=\|\overrightarrow{P B}\|.
b) Determine as equações paramétricas das retas s_{1} e s_{2} que são paralelas à reta r e distam 2 \sqrt{2} da reta r.

Passo 1

O enunciado dá dois pontos e uma reta passando por eles:
  • Ponto A=(1,1).
  • Ponto B=(-1,3).
  • A reta r passa por A e B.
O que é pedido:
a) Determinar o ponto P pertencente à reta r tal que \|\overrightarrow{PA}\|=\|\overrightarrow{PB}\| (ou seja, P está na reta e tem a mesma distância a A e a B).
b) Determinar equações paramétricas das retas s_{1} e s_{2} que são paralelas à reta r e distam 2\sqrt{2} de r.

Passo 2

Vamos representar a reta r de forma conveniente. Primeiro obtenho o vetor diretor de r usando A e B:
\overrightarrow{v}=\overrightarrow{AB}=B-A = (-1-1,\;3-1)=(-2,\;2).
Posso simplificar o vetor diretor para \overrightarrow{v}=(-1,1) (multiplicando por um escalar não nulo não muda a direção). Uma equação paramétrica para r tomando A como ponto inicial é:
\text{reta }r:\quad (x,y) = (1,1) + t(-1,1),
ou seja, em coordenadas paramétricas
x=1-t,\qquad y=1+t,\qquad t\in\mathbb{R}.

Passo 3

Resolvendo (a): representação genérica de um ponto P em r e condição de igual distância. Seja P um ponto em r com parâmetro t, então
P=(1-t,\;1+t).
A condição \|\overrightarrow{PA}\|=\|\overrightarrow{PB}\| é equivalente à igualdade dos quadrados das distâncias (para evitar raízes):
\|\overrightarrow{PA}\|^{2}=\|\overrightarrow{PB}\|^{2}.
Escrevo \overrightarrow{PA}=A-P e \overrightarrow{PB}=B-P e calculo os quadrados:

Passo 4

Cálculos explícitos:
\overrightarrow{PA}=A-P=(1,1)-(1-t,1+t)=(t,\,-t),
logo
\|\overrightarrow{PA}\|^{2}=t^{2}+(-t)^{2}=2t^{2}.
Também
\overrightarrow{PB}=B-P=(-1,3)-(1-t,1+t)=(-2+t,\;2-t),
então
\|\overrightarrow{PB}\|^{2}=(-2+t)^{2}+(2-t)^{2}.
Agora igualo:
2t^{2}=(-2+t)^{2}+(2-t)^{2}.

Passo 5

Resolvo a equação obtida:
(-2+t)^{2}+(2-t)^{2} = (t-2)^{2}+(2-t)^{2}.
Como (t-2)^{2}=(2-t)^{2}, os dois termos são iguais, então o lado direito vale 2(2-t)^{2}. Assim
2t^{2}=2(2-t)^{2}.
Dividindo por 2:
t^{2}=(2-t)^{2}.
Tomando raiz quadrada (ou desenvolvendo) leva a duas possibilidades, mas ambas coalescem aqui:
t=2-t \quad\text{ou}\quad t=-(2-t).
A primeira dá 2t=2\Rightarrow t=1. A segunda dá t=-2+t\Rightarrow 0=-2 (impossível). Portanto
t=1.
Substituindo em P=(1-t,1+t) obtemos
P=(1-1,\;1+1)=(0,2).
Observação rápida: geometricamente este P é o ponto médio de AB, como era de se esperar, pois o único ponto de uma reta que está igualmente distante de A e B é o ponto médio do segmento AB.

Passo 6

Agora (b): queremos duas retas paralelas a r a uma distância d=2\sqrt{2} de r. Estratégia: obter um vetor normal a r, normalizá-lo e deslocar a reta r ao longo desse vetor unitário por \pm d.
Um vetor normal a \overrightarrow{v}=(-1,1) é, por exemplo, \overrightarrow{n}=(1,1) porque \overrightarrow{v}\cdot\overrightarrow{n}=(-1)\cdot1+1\cdot1=0. O comprimento de \overrightarrow{n} é
\|\overrightarrow{n}\|=\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}.
Logo o versor normal (vetor normal unitário) é
\widehat{n}=\frac{\overrightarrow{n}}{\|\overrightarrow{n}\|}=\left(\frac{1}{\sqrt{2}},\;\frac{1}{\sqrt{2}}\right).

Passo 7

Deslocamento por distância d=2\sqrt{2} na direção normal para obter as retas paralelas. O deslocamento vetorial é
d\,\widehat{n}=(2\sqrt{2})\left(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}\right)=(2,2).
Portanto as duas retas paralelas a r que estão a distância 2\sqrt{2} são obtidas deslocando a reta r por (2,2) e por (-2,-2).
Usando a forma paramétrica de r, (x,y)=(1,1)+t(-1,1), as retas s_{1} e s_{2} ficam:
  • Para o deslocamento positivo (2,2):
s_{1}:\quad (x,y)=(1,1)+(2,2)+\lambda(-1,1)=(3,3)+\lambda(-1,1).
Em coordenadas paramétricas:
x=3-\lambda,\qquad y=3+\lambda,\qquad \lambda\in\mathbb{R}.
  • Para o deslocamento negativo (-2,-2):
s_{2}:\quad (x,y)=(1,1)+(-2,-2)+\mu(-1,1)=(-1,-1)+\mu(-1,1).
Em coordenadas paramétricas:
x=-1-\mu,\qquad y=-1+\mu,\qquad \mu\in\mathbb{R}.

Passo 8

Checagem rápida (opcional, mas didática): verifico que a distância entre r e s_{1} é realmente 2\sqrt{2}. A distância entre duas retas paralelas pode ser calculada tomando um ponto de uma e projetando no normal até a outra; por exemplo, distância entre r e s_{1} é o comprimento do vetor (2,2), que é
\sqrt{2^{2}+2^{2}}=\sqrt{8}=2\sqrt{2},
como pedido. Mesma conta para s_{2} com deslocamento (-2,-2).

Resposta

(a) P=(0,2)
(b) s_{1}:\;x=3-\lambda,\;y=3+\lambda,\;\lambda\in\mathbb{R}
(b) s_{2}:\;x=-1-\mu,\;y=-1+\mu,\;\mu\in\mathbb{R}

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