Questão 1 ( 1,0 ponto) Determine, se existir, o ponto onde o plano \pi que passa pelos pontos A= (1,2,1), B=(2,1,1) e C=(1,3,2) intersecta o eixo y.

Passo 1

O enunciado pede: determinar, se existir, o ponto onde o plano \pi que passa pelos pontos A=(1,2,1), B=(2,1,1) e C=(1,3,2) intersecta o eixo y.
Informações dadas:
  • A=(1,2,1).
  • B=(2,1,1).
  • C=(1,3,2).
O que é pedido:
  • Encontrar o ponto de interseção entre o plano \pi (passando por A,B,C) e o eixo y.

Passo 2

Plano por três pontos: uma forma prática de obter a equação de um plano é primeiro encontrar um vetor normal \mathbf{n} ao plano. Para isso tomamos dois vetores que pertencem ao plano (por exemplo \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC}) e calculamos o produto vetorial (cross product) entre eles; o resultado é um vetor perpendicular ao plano.
Explicando o que são esses objetos:
  • \overrightarrow{AB} é o vetor que vai de A a B; seus componentes são a diferença coordenada a coordenada: \overrightarrow{AB}=B-A.
  • \overrightarrow{AC}=C-A.
  • O produto vetorial \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC} dá um vetor \mathbf{n}=(a,b,c) que é normal ao plano.
  • Com \mathbf{n}=(a,b,c) e um ponto A=(x_0,y_0,z_0) no plano, a equação do plano em forma ponto-normal é \mathbf{n}\cdot((x,y,z)-(x_0,y_0,z_0))=0, ou seja
a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0.
Vou aplicar esse procedimento passo a passo.

Passo 3

Calcular os vetores \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC}.
\overrightarrow{AB}=B-A=(2-1,\;1-2,\;1-1)=(1,-1,0).
\overrightarrow{AC}=C-A=(1-1,\;3-2,\;2-1)=(0,1,1).
Explanação rápida: subtrai-se coordenada a coordenada; por exemplo a componente x de \overrightarrow{AB} é 2-1=1.

Passo 4

Calcular o produto vetorial \mathbf{n}=\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}. Lembrando a fórmula para o produto vetorial em componentes:
\overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\ u_x & u_y & u_z \\\ v_x & v_y & v_z \end{vmatrix},
que dá em componentes
(u_y v_z - u_z v_y,\; u_z v_x - u_x v_z,\; u_x v_y - u_y v_x).
Aplicando com \overrightarrow{AB}=(1,-1,0) e \overrightarrow{AC}=(0,1,1):
\mathbf{n} = \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC} = \bigl((-1)\cdot1 - 0\cdot1,\; 0\cdot0 - 1\cdot1,\; 1\cdot1 - (-1)\cdot0\bigr).
Calculando cada componente:
\mathbf{n}=(-1,\; -1,\; 1).
Observação: qualquer múltiplo não-nulo de \mathbf{n} também é um vetor normal; por exemplo (1,1,-1) seria igualmente válido. Aqui usaremos \mathbf{n}=(-1,-1,1).

Passo 5

Montar a equação do plano usando a forma ponto-normal com o ponto A=(1,2,1) e \mathbf{n}=(-1,-1,1):
(-1)(x-1)+(-1)(y-2)+1(z-1)=0.
Desenvolvendo os termos:
- x +1 - y +2 + z -1 = 0.
Agrupando constantes:
- x - y + z +2 = 0.
Multiplicando por -1 para ficar mais agradável:
x + y - z - 2 = 0.
Portanto uma forma conveniente da equação do plano é
x + y - z = 2.
Verificação rápida (opcional): substituindo A, B e C nesta equação obtém-se 2 em cada caso, então a equação está correta.

Passo 6

Interseção com o eixo y: pontos do eixo y têm coordenadas (0,y,0) (ou seja, x=0 e z=0). Substituir x=0 e z=0 na equação do plano para achar y:
0 + y - 0 = 2 \quad\Rightarrow\quad y = 2.
Assim, a interseção existe e ocorre para y=2.

Resposta

(0,2,0)

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