Questão 1 (1,0 ponto)

Considere os vetores v_{1}=(1,2,3), v_{2}=(2,4,6), v_{3}=(1,1,0) \mathrm{em} \mathbb{R}^{3}.
a) Verifique se o conjunto \left\{v_{1}, v_{2}, v_{3}\right\} é linearmente independente.
b) Determine uma base do subespaço gerado por esses vetores.

Passo 1

O enunciado dá três vetores em \mathbb{R}^3:
v_1=(1,2,3),\qquad v_2=(2,4,6),\qquad v_3=(1,1,0).
Pede duas coisas:
(a) verificar se o conjunto \{v_1,v_2,v_3\} é linearmente independente;
(b) determinar uma base do subespaço gerado por esses vetores (isto é, uma base de \operatorname{span}\{v_1,v_2,v_3\}).

Passo 2

Vamos lembrar, de forma simples e didática, o que significa linearmente independente e como testar isso:
  • Definição (em palavras): os vetores v_1,v_2,v_3 são linearmente independentes se a única combinação linear
c_1 v_1 + c_2 v_2 + c_3 v_3 = 0
que produz o vetor nulo é aquela em que c_1=c_2=c_3=0. Se existe pelo menos uma combinação com coeficientes não todos nulos que dá o vetor nulo, os vetores são linearmente dependentes.
  • Método prático: montar a equação acima, escrever as três equações escalares (uma para cada coordenada) e resolver o sistema para os coeficientes c_1,c_2,c_3. Se aparecerem soluções livres (parâmetros), então há dependência linear.

Passo 3

Aplicando o método, escrevemos a combinação linear igual a zero:
c_1 v_1 + c_2 v_2 + c_3 v_3 = 0.
Substituindo as coordenadas:
c_1(1,2,3) + c_2(2,4,6) + c_3(1,1,0) = (0,0,0).
Isto gera o sistema de três equações escalares:
\begin{cases} c_1 + 2c_2 + c_3 = 0,\\[4pt] 2c_1 + 4c_2 + c_3 = 0,\\[4pt] 3c_1 + 6c_2 + 0\cdot c_3 = 0. \end{cases}]

Passo 4

Vamos resolver esse sistema passo a passo (fazendo operações simples e explicando cada uma):
  • Da terceira equação temos
3c_1 + 6c_2 = 0.
Dividindo por 3 obtemos
c_1 + 2c_2 = 0 \quad\Rightarrow\quad c_1 = -2c_2.
  • Substituindo c_1=-2c_2 na primeira equação:
(-2c_2) + 2c_2 + c_3 = 0 \quad\Rightarrow\quad c_3 = 0.
Portanto as soluções do sistema são
c_1 = -2t,\qquad c_2 = t,\qquad c_3 = 0,
onde t é um parâmetro livre (qualquer número real). Em particular, tomando t=1 obtemos uma solução não trivial (c_1,c_2,c_3)=(-2,1,0) que satisfaz
-2v_1 + 1\cdot v_2 + 0\cdot v_3 = 0.

Passo 5

Interpretação do resultado do passo anterior:
  • Encontramos coeficientes não todos nulos que produzem o vetor nulo, logo os vetores v_1,v_2,v_3 são linearmente dependentes.
  • Observação simples (intuição): vê-se diretamente que v_2 = 2v_1, porque multiplicando cada coordenada de v_1 por 2 obtém-se v_2. Essa relação já garante dependência linear (pois v_2-2v_1=0) — a conta algébrica acima só confirma e generaliza isso.

Passo 6

Agora vamos encontrar uma base de \operatorname{span}\{v_1,v_2,v_3\}. Ideia: retirar vetores redundantes (como v_2 que é múltiplo de v_1) e verificar independência dos restantes.
  • Como v_2=2v_1, o espaço gerado por \{v_1,v_2,v_3\} é o mesmo que o gerado por \{v_1,v_3\}:
\operatorname{span}\{v_1,v_2,v_3\}=\operatorname{span}\{v_1,v_3\}.
  • Precisamos agora verificar se v_1 e v_3 são linearmente independentes (se sim, formam uma base do espaço gerado).

Passo 7

Testando a independência de v_1\) e \(v_3\): - Considere a combinação \[a v_1 + b v_3 = 0,
isto é,
a(1,2,3) + b(1,1,0) = (0,0,0).
Escrevendo as coordenadas:
\begin{cases} a + b = 0,\\[4pt] 2a + b = 0,\\[4pt] 3a + 0\cdot b = 0. \end{cases}
  • Da terceira equação obtemos 3a=0\Rightarrow a=0\]. Substituindo em \(a+b=0 b=0. Logo a única solução é a=b=0, portanto v_1 e v_3 são linearmente independentes.]

Passo 8

Conclusão sobre a base:
  • Como v_1 e v_3 são independentes e geram o mesmo subespaço que \{v_1,v_2,v_3\}, o conjunto \{v_1,v_3\} é uma base de \operatorname{span}\{v_1,v_2,v_3\}.
  • Observação adicional (útil na prova): também poderia ser usada a base \{v_2,v_3\}, já que v_2 é múltiplo não nulo de v_1 e \{v_2,v_3\} também é independente (mesma verificação que fizemos para v_1,v_3).

Resposta

(a) O conjunto \{v_1,v_2,v_3\} é linearmente dependente.
(b) Uma base do subespaço gerado é \{v_1,v_3\}=\{(1,2,3),(1,1,0)\}.

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