Considere os vetores v_{1}=(1,2,3), v_{2}=(2,4,6), v_{3}=(1,1,0) \mathrm{em} \mathbb{R}^{3}.
a) Verifique se o conjunto \left\{v_{1}, v_{2}, v_{3}\right\} é linearmente independente.
b) Determine uma base do subespaço gerado por esses vetores.
Pede duas coisas:
(a) verificar se o conjunto \{v_1,v_2,v_3\} é linearmente independente;
(b) determinar uma base do subespaço gerado por esses vetores (isto é, uma base de \operatorname{span}\{v_1,v_2,v_3\}).
Passo 2
Vamos lembrar, de forma simples e didática, o que significa linearmente independente e como testar isso:
Definição (em palavras): os vetores v_1,v_2,v_3 são linearmente independentes se a única combinação linear
c_1 v_1 + c_2 v_2 + c_3 v_3 = 0
que produz o vetor nulo é aquela em que c_1=c_2=c_3=0. Se existe pelo menos uma combinação com coeficientes não todos nulos que dá o vetor nulo, os vetores são linearmente dependentes.
Método prático: montar a equação acima, escrever as três equações escalares (uma para cada coordenada) e resolver o sistema para os coeficientes c_1,c_2,c_3. Se aparecerem soluções livres (parâmetros), então há dependência linear.
Passo 3
Aplicando o método, escrevemos a combinação linear igual a zero:
onde t é um parâmetro livre (qualquer número real). Em particular, tomando t=1 obtemos uma solução não trivial (c_1,c_2,c_3)=(-2,1,0) que satisfaz
-2v_1 + 1\cdot v_2 + 0\cdot v_3 = 0.
Passo 5
Interpretação do resultado do passo anterior:
Encontramos coeficientes não todos nulos que produzem o vetor nulo, logo os vetores v_1,v_2,v_3 são linearmente dependentes.
Observação simples (intuição): vê-se diretamente que v_2 = 2v_1, porque multiplicando cada coordenada de v_1 por 2 obtém-se v_2. Essa relação já garante dependência linear (pois v_2-2v_1=0) — a conta algébrica acima só confirma e generaliza isso.
Passo 6
Agora vamos encontrar uma base de \operatorname{span}\{v_1,v_2,v_3\}. Ideia: retirar vetores redundantes (como v_2 que é múltiplo de v_1) e verificar independência dos restantes.
Como v_2=2v_1, o espaço gerado por \{v_1,v_2,v_3\} é o mesmo que o gerado por \{v_1,v_3\}:
Precisamos agora verificar se v_1 e v_3 são linearmente independentes (se sim, formam uma base do espaço gerado).
Passo 7
Testando a independência de v_1\) e \(v_3\):
- Considere a combinação
\[a v_1 + b v_3 = 0,
isto é,
a(1,2,3) + b(1,1,0) = (0,0,0).
Escrevendo as coordenadas:
\begin{cases} a + b = 0,\\[4pt] 2a + b = 0,\\[4pt] 3a + 0\cdot b = 0. \end{cases}
Da terceira equação obtemos 3a=0\Rightarrow a=0\]. Substituindo em \(a+b=0 dá b=0. Logo a única solução é a=b=0, portanto v_1 e v_3 são linearmente independentes.]
Passo 8
Conclusão sobre a base:
Como v_1 e v_3 são independentes e geram o mesmo subespaço que \{v_1,v_2,v_3\}, o conjunto \{v_1,v_3\} é uma base de \operatorname{span}\{v_1,v_2,v_3\}.
Observação adicional (útil na prova): também poderia ser usada a base \{v_2,v_3\}, já que v_2 é múltiplo não nulo de v_1 e \{v_2,v_3\} também é independente (mesma verificação que fizemos para v_1,v_3).
Resposta
(a) O conjunto \{v_1,v_2,v_3\} é linearmente dependente.
(b) Uma base do subespaço gerado é \{v_1,v_3\}=\{(1,2,3),(1,1,0)\}.