Determine \operatorname{dim} \mathcal{L}\left(\mathbb{R}^{2}, \mathbb{R}^{3}\right).

Passo 1

O enunciado pede: determinar a dimensão do espaço \mathcal{L}\left(\mathbb{R}^{2},\mathbb{R}^{3}\right).
Informações dadas:
  • o espaço de partida é \mathbb{R}^{2};
  • o espaço de chegada é \mathbb{R}^{3}.
    Pergunta explícita: qual é \dim \mathcal{L}\left(\mathbb{R}^{2},\mathbb{R}^{3}\right)?

Passo 2

Primeiro, o que é um elemento de \mathcal{L}\left(\mathbb{R}^{2},\mathbb{R}^{3}\right)?
Um elemento é uma aplicação linear T:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{3}. Por definição, T é linear se, para quaisquer vetores u,v\in\mathbb{R}^{2} e quaisquer escalares a,b\in\mathbb{R},
T(au+bv)=aT(u)+bT(v).
Não preciso provar isso aqui, só lembrar que uma aplicação linear é totalmente determinada pelas imagens de uma base do domínio. Vou usar isso para contar quantos parâmetros são necessários para descrever qualquer T.

Passo 3

Escolho as bases canônicas (padrão):
\text{base de }\mathbb{R}^{2}:\quad e_{1}=(1,0),\\ e_{2}=(0,1),
\text{base de }\mathbb{R}^{3}:\quad f_{1}=(1,0,0),\\ f_{2}=(0,1,0),\\ f_{3}=(0,0,1).
Para uma aplicação linear T, as imagens T(e_{1}) e T(e_{2}) determinam T completamente (por linearidade qualquer T(x) é combinação linear dessas duas imagens). Cada T(e_{j}) é um vetor de \mathbb{R}^{3}, ou seja, pode ser escrito com três coordenadas livres. Logo:
  • T(e_{1}) tem 3 coordenadas livres;
  • T(e_{2}) tem 3 coordenadas livres.
    No total temos 3+3=6 graus de liberdade para escolher T. Isso sugere que \dim \mathcal{L}\left(\mathbb{R}^{2},\mathbb{R}^{3}\right)=6.

Passo 4

Vou tornar a contagem mais estrutural: representar T por uma matriz. Na base canônica, toda aplicação linear T corresponde a uma matriz 3\times 2
A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12}\\[4pt] a_{21} & a_{22}\\[4pt] a_{31} & a_{32} \end{pmatrix},
onde a primeira coluna é T(e_{1}) e a segunda coluna é T(e_{2}). Cada entrada a_{ij} é um número real livre; são 3\times 2=6 entradas. O espaço de todas as matrizes 3\times 2 é isomorfo a \mathcal{L}\left(\mathbb{R}^{2},\mathbb{R}^{3}\right) e tem dimensão igual ao número de entradas, ou seja, 6.]

Passo 5

Para justificar linearmente (construção de uma base de \mathcal{L}): defino as aplicações lineares elementares E_{ij} ( i=1,2,3, j=1,2) por
E_{ij}(e_{j})=f_{i},\qquad E_{ij}(e_{k})=0\\ \text{se }k\ne j.
Cada E_{ij} corresponde à matriz que tem um único 1 na posição (i,j) e zeros nas outras entradas. Há exatamente 3\cdot2=6 tais E_{ij}. Esses E_{ij} geram todo o espaço (qualquer matriz é combinação linear deles) e são linearmente independentes (uma combinação linear nula avaliada em e_{j} isola os coeficientes correspondentes). Portanto formam uma base com 6 elementos, confirmando que a dimensão é 6.

Passo 6

Resumo geral (fato útil): se V e W são espaços vetoriais de dimensões \dim V=n e \dim W=m, então
\dim \mathcal{L}(V,W)=mn.
Aplicando aqui com n=2 e m=3 obtém-se \dim \mathcal{L}\left(\mathbb{R}^{2},\mathbb{R}^{3}\right)=3\cdot2=6. Força aí — é só contar colunas vezes linhas!

Resposta

6

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