Encontre dois subespaços de \mathbb{R}^{3} cuja soma seja todo o espaço.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos:
  • Pedido: encontrar dois subespaços de \mathbb{R}^{3} tais que a soma desses subespaços seja todo o espaço \mathbb{R}^{3}.
  • Informação dada: o espaço ambiente é \mathbb{R}^{3}.
  • O objetivo concreto é fornecer dois subespaços U e W de \mathbb{R}^{3} tais que
U+W=\{u+w \mid u\in U,\; w\in W\}=\mathbb{R}^{3}.
Nada mais foi fornecido; a tarefa é construir exemplos e provar que a soma é \mathbb{R}^{3}.

Passo 2

Definições e ferramentas que vamos usar (explicadas devagarinho):
  • Subespaço: um subconjunto S\subseteq\mathbb{R}^{3} é subespaço se contém o vetor 0, é fechado sob soma e fechado sob multiplicação por escalares. Uma maneira prática de produzir subespaços é usar spans: para vetores v_1,\dots,v_k em \mathbb{R}^3,
\operatorname{span}\{v_1,\dots,v_k\}=\{a_1v_1+\cdots+a_kv_k \mid a_i\in\mathbb{R}\}
é sempre um subespaço.
  • Soma de subespaços: dados subespaços U,W, a soma U+W é o conjunto de todas as somas u+w. É também um subespaço.
  • Fórmula de dimensão (útil para checar): para subespaços U,W de dimensão finita,
\dim(U+W)=\dim U+\dim W-\dim(U\cap W).
Isto significa que, se conseguirmos que a soma tenha dimensão 3, então a soma é todo \mathbb{R}^3 (porque \dim\mathbb{R}^3=3).

Passo 3

Escolha simples e direta: tomar um plano (dimensão 2) e uma reta (dimensão 1) que não estejam “sobrepostos”. Vou construir:
U=\operatorname{span}\{(1,0,0),(0,1,0)\}, \qquad W=\operatorname{span}\{(0,0,1)\}.
Explicando cada escolha:
  • U é o plano xy-componente, ou seja todos os vetores da forma (a,b,0).
  • W é o eixo z, ou seja todos os vetores da forma (0,0,c).
    Ambos são spans, logo subespaços.

Passo 4

Provar que U+W=\mathbb{R}^3 para o exemplo do passo anterior:
  • Tome um vetor arbitrário v=(x,y,z)\in\mathbb{R}^3.
  • Podemos escrever
v=(x,y,0)+(0,0,z),
onde (x,y,0)\in U e (0,0,z)\in W.
  • Assim v\in U+W. Como v era arbitrário, U+W=\mathbb{R}^3.
    Também pela fórmula de dimensão: \dim U=2, \dim W=1, e U\cap W=\{(0,0,0)\} tem dimensão 0. Então
\dim(U+W)=2+1-0=3,
logo U+W tem dimensão 3 e portanto é \mathbb{R}^3.

Passo 5

Um segundo exemplo (para ver outra possibilidade): soma de dois planos que não coincidem totalmente.
Escolher
U=\operatorname{span}\{(1,0,0),(0,1,0)\}, \qquad W=\operatorname{span}\{(1,0,0),(0,0,1)\}.
Aqui cada um é um plano (dimensão 2). A interseção U\cap W é \operatorname{span}\{(1,0,0)\}, que tem dimensão 1. Pela fórmula de dimensão:
\dim(U+W)=2+2-1=3,
logo U+W=\mathbb{R}^3.

Passo 6

Verificação construtiva para o segundo exemplo (mostrar como decompor um vetor):
  • Dado v=(x,y,z), escolha por exemplo
u=(0,y,0)\in U,\qquad w=(x,0,z)\in W.
Então u+w=(0,y,0)+(x,0,z)=(x,y,z)=v. Logo v\in U+W e, novamente, U+W=\mathbb{R}^3.

Passo 7

Comentário final breve e incentivo:
  • A ideia prática para a prova é simples: basta que os subespaços juntos gerem três direções independentes. Um plano + uma reta transversal é a escolha mais óbvia. Outra opção é pegar dois planos que se cruzam em uma reta; desde que a interseção não apague uma dimensão, a soma dá \mathbb{R}^3.
  • Você pode usar qualquer exemplo equivalente aos acima; na prova explique por decomposição de vetores (como fiz) ou usando a fórmula de dimensão.

Resposta

U=\operatorname{span}\{(1,0,0),(0,1,0)\},\quad W=\operatorname{span}\{(0,0,1)\}
ou
U=\operatorname{span}\{(1,0,0),(0,1,0)\},\quad W=\operatorname{span}\{(1,0,0),(0,0,1)\}

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