Encontre dois subespaços de
cuja soma seja todo o espaço.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que temos:
- Pedido: encontrar dois subespaços de
tais que a soma desses subespaços seja todo o espaço . - Informação dada: o espaço ambiente é
. - O objetivo concreto é fornecer dois subespaços
e de tais que
Nada mais foi fornecido; a tarefa é construir exemplos e provar que a soma é
.
Passo 2
Definições e ferramentas que vamos usar (explicadas devagarinho):
- Subespaço: um subconjunto
é subespaço se contém o vetor , é fechado sob soma e fechado sob multiplicação por escalares. Uma maneira prática de produzir subespaços é usar spans: para vetores em ,
é sempre um subespaço.
- Soma de subespaços: dados subespaços
, a soma é o conjunto de todas as somas . É também um subespaço. - Fórmula de dimensão (útil para checar): para subespaços
de dimensão finita,
Isto significa que, se conseguirmos que a soma tenha dimensão
, então a soma é todo
(porque
).
Passo 3
Escolha simples e direta: tomar um plano (dimensão
) e uma reta (dimensão
) que não estejam “sobrepostos”. Vou construir:
Explicando cada escolha:
-
é o plano -componente, ou seja todos os vetores da forma . -
é o eixo , ou seja todos os vetores da forma .
Ambos são spans, logo subespaços.
Passo 4
Provar que
para o exemplo do passo anterior:
- Tome um vetor arbitrário
. - Podemos escrever
onde
e
.
- Assim
. Como era arbitrário, .
Também pela fórmula de dimensão:, , e tem dimensão . Então
logo
tem dimensão
e portanto é
.
Passo 5
Um segundo exemplo (para ver outra possibilidade): soma de dois planos que não coincidem totalmente.
Escolher
Escolher
Aqui cada um é um plano (dimensão
). A interseção
é
, que tem dimensão
. Pela fórmula de dimensão:
logo
.
Passo 6
Verificação construtiva para o segundo exemplo (mostrar como decompor um vetor):
- Dado
, escolha por exemplo
Então
. Logo
e, novamente,
.
Passo 7
Comentário final breve e incentivo:
- A ideia prática para a prova é simples: basta que os subespaços juntos gerem três direções independentes. Um plano + uma reta transversal é a escolha mais óbvia. Outra opção é pegar dois planos que se cruzam em uma reta; desde que a interseção não apague uma dimensão, a soma dá
. - Você pode usar qualquer exemplo equivalente aos acima; na prova explique por decomposição de vetores (como fiz) ou usando a fórmula de dimensão.
Resposta
ou