Questão 4 (0.5 ponto)
Dada a função
, assinale a alternativa correta sobre seus pontos críticos, pontos de inflexão, intervalos de crescimento e decrescimento, e concavidade.
(a) A
(b) B
(c) C
(d) D
(e) E
Onde:
A. Pontos críticos:
e
; Ponto de inflexão:
; Crescente em
; Decrescente em ( 2,4 ); Côncava para cima em (
) e côncava para baixo em (
).
B. Pontos críticos:
e
; Ponto de inflexão:
; Crescente em ( 2,4 ); Decrescente em
; Côncava para cima em
e côncava para baixo em
.
C. Pontos críticos:
e
; Ponto de inflexão:
; Crescente em
; Decrescente em (2,3); Côncava para cima em (
) e côncava para baixo em (
).
D. Pontos críticos:
e
; Ponto de inflexão:
; Crescente em
; Decrescente em ( 3,4 ); Côncava para cima em (
) e côncava para baixo em (
).
E. Nenhuma das anteriores.
(a) A
(b) B
(c) C
(d) D
(e) E
A. Pontos críticos:
B. Pontos críticos:
C. Pontos críticos:
D. Pontos críticos:
E. Nenhuma das anteriores.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede que a gente assinale qual alternativa (A, B, C, D, E) está correta sobre:
- os pontos críticos de
(valores de onde é zero ou não existe); - o ponto de inflexão de
(onde a concavidade muda); - os intervalos de crescimento (onde
) e decrescimento (onde ); - os intervalos de concavidade para cima (onde
) e concavidade para baixo (onde ).
As alternativas A–E estão listadas no enunciado; nosso objetivo é calcular tudo para
e verificar qual alternativa coincide com os resultados.
Passo 2
Vamos lembrar o que é derivada e por que ela serve aqui (curtinho e direto, como numa cola de prova). A derivada
mede a inclinação da reta tangente a
em
. Se
a função sobe (é crescente) naquele ponto; se
ela desce (é decrescente). Pontos críticos são pontos onde
ou
não existe — aí pode mudar o comportamento. Para concavidade usamos a segunda derivada
: se
a curva está côncava para cima, se
está côncava para baixo; ponto de inflexão é onde
muda de sinal (muitas vezes quando
).
Agora calculamos as derivadas.
Passo 3
Calcular
. Derivando termo a termo:
Fatorando para achar raízes:
Logo as soluções de
são
e
. Esses são os pontos críticos (a função é polinomial, logo
existe em todo lugar, então não há outros tipos de pontos críticos).
Passo 4
Agora determinamos os intervalos de crescimento/decrescimento fazendo um quadro de sinais de
. Como
, os zeros são
e
. Testamos um ponto em cada intervalo:
- Em
escolhemos . Então
portanto
é crescente em
.
- Em
escolhemos . Então
portanto
é decrescente em
.
- Em
escolhemos . Então
portanto
é crescente em
.
Resumindo:
é crescente em
e decrescente em
.
Passo 5
Calcular a segunda derivada
e achar possível ponto de inflexão. Derivando
:
A equação
dá
. Como
muda de sinal ao passar por
(veremos no próximo passo),
é ponto de inflexão.
Passo 6
Quadro de sinais para
:
- Para
(por exemplo ):
logo a função é côncava para baixo em
.
- Para
(por exemplo ):
logo a função é côncava para cima em
.
Portanto há troca de concavidade em
, confirmando que
é ponto de inflexão, com concavidade para baixo em
e para cima em
.
Passo 7
Vamos juntar tudo que encontramos e comparar com as alternativas:
- Pontos críticos:
e . - Ponto de inflexão:
. - Crescente em
. - Decrescente em
. - Côncava para cima em
e côncava para baixo em .
A alternativa que coincide exatamente com essa lista é a alternativa A.
Resposta
A