Questão 4 (0.5 ponto)

Dada a função f(x)=x^{3}-9 x^{2}+24 x+5, assinale a alternativa correta sobre seus pontos críticos, pontos de inflexão, intervalos de crescimento e decrescimento, e concavidade.
(a) A
(b) B
(c) C
(d) D
(e) E
Onde:
A. Pontos críticos: x=2 e x=4; Ponto de inflexão: x=3; Crescente em (-\infty, 2) \cup(4, \infty); Decrescente em ( 2,4 ); Côncava para cima em ( 3, \infty ) e côncava para baixo em ( -\infty, 3 ).
B. Pontos críticos: x=2 e x=4; Ponto de inflexão: x=3; Crescente em ( 2,4 ); Decrescente em (-\infty, 2) \cup(4, \infty); Côncava para cima em (-\infty, 3) e côncava para baixo em (3, \infty).
C. Pontos críticos: x=2 e x=3; Ponto de inflexão: x=4; Crescente em (-\infty, 2) \cup(3, \infty); Decrescente em (2,3); Côncava para cima em ( 4, \infty ) e côncava para baixo em ( -\infty, 4 ).
D. Pontos críticos: x=3 e x=4; Ponto de inflexão: x=2; Crescente em (-\infty, 3) \cup(4, \infty); Decrescente em ( 3,4 ); Côncava para cima em ( 2, \infty ) e côncava para baixo em ( -\infty, 2 ).
E. Nenhuma das anteriores.

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=x^{3}-9x^{2}+24x+5 e pede que a gente assinale qual alternativa (A, B, C, D, E) está correta sobre:
  • os pontos críticos de f (valores de x onde f' é zero ou não existe);
  • o ponto de inflexão de f (onde a concavidade muda);
  • os intervalos de crescimento (onde f'>0) e decrescimento (onde f'<0);
  • os intervalos de concavidade para cima (onde f''>0) e concavidade para baixo (onde f''<0).
As alternativas A–E estão listadas no enunciado; nosso objetivo é calcular tudo para f e verificar qual alternativa coincide com os resultados.

Passo 2

Vamos lembrar o que é derivada e por que ela serve aqui (curtinho e direto, como numa cola de prova). A derivada f'(x) mede a inclinação da reta tangente a f em x. Se f'(x)>0 a função sobe (é crescente) naquele ponto; se f'(x)<0 ela desce (é decrescente). Pontos críticos são pontos onde f'(x)=0 ou f' não existe — aí pode mudar o comportamento. Para concavidade usamos a segunda derivada f''(x): se f''(x)>0 a curva está côncava para cima, se f''(x)<0 está côncava para baixo; ponto de inflexão é onde f'' muda de sinal (muitas vezes quando f''(x)=0).
Agora calculamos as derivadas.

Passo 3

Calcular f'(x). Derivando termo a termo:
f'(x)=3x^{2}-18x+24.
Fatorando para achar raízes:
f'(x)=3\bigl(x^{2}-6x+8\bigr)=3(x-2)(x-4).
Logo as soluções de f'(x)=0 são x=2 e x=4. Esses são os pontos críticos (a função é polinomial, logo f' existe em todo lugar, então não há outros tipos de pontos críticos).

Passo 4

Agora determinamos os intervalos de crescimento/decrescimento fazendo um quadro de sinais de f'(x). Como f'(x)=3(x-2)(x-4), os zeros são 2 e 4. Testamos um ponto em cada intervalo:
  • Em (-\infty,2) escolhemos x=0. Então
f'(0)=3(0-2)(0-4)=3(-2)(-4)=24>0,
portanto f é crescente em (-\infty,2).
  • Em (2,4) escolhemos x=3. Então
f'(3)=3(3-2)(3-4)=3(1)(-1)=-3<0,
portanto f é decrescente em (2,4).
  • Em (4,\infty) escolhemos x=5. Então
f'(5)=3(5-2)(5-4)=3(3)(1)=9>0,
portanto f é crescente em (4,\infty).
Resumindo: f é crescente em (-\infty,2)\cup(4,\infty) e decrescente em (2,4).

Passo 5

Calcular a segunda derivada f''(x) e achar possível ponto de inflexão. Derivando f'(x)=3x^{2}-18x+24:
f''(x)=6x-18=6(x-3).
A equação f''(x)=0 x=3. Como f'' muda de sinal ao passar por x=3 (veremos no próximo passo), x=3 é ponto de inflexão.

Passo 6

Quadro de sinais para f''(x)=6(x-3):
  • Para x<3 (por exemplo x=0):
f''(0)=6(0-3)=-18<0,
logo a função é côncava para baixo em (-\infty,3).
  • Para x>3 (por exemplo x=4):
f''(4)=6(4-3)=6>0,
logo a função é côncava para cima em (3,\infty).
Portanto há troca de concavidade em x=3, confirmando que x=3 é ponto de inflexão, com concavidade para baixo em (-\infty,3) e para cima em (3,\infty).

Passo 7

Vamos juntar tudo que encontramos e comparar com as alternativas:
  • Pontos críticos: x=2 e x=4.
  • Ponto de inflexão: x=3.
  • Crescente em (-\infty,2)\cup(4,\infty).
  • Decrescente em (2,4).
  • Côncava para cima em (3,\infty) e côncava para baixo em (-\infty,3).
A alternativa que coincide exatamente com essa lista é a alternativa A.

Resposta

A

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