Questão 3 (0.5 ponto)

Calcule as derivadas das seguintes funções:
(A) y=\ln \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right).
(B) y=3 e^{\cos x}.
(C) y=5 x^{2}+5 x-7.
(D) y=(\sin x) e^{x}.
Alternativas:
(A) a) 2 \operatorname{sec} x
b) -3 \sin x \cdot e^{\cos x}
c) 10 x+5
d) e^{x}(\cos x+\sin x)
(B) a) 2 \operatorname{sec} x
b) 3 \sin x \cdot e^{\cos x}
c) 10 x+5
d) e^{x}(\cos x+\sin x)
(C) a) 2 \operatorname{sec} x
b) -3 \sin x \cdot e^{\cos x}
c) 10 x
d) e^{x}(\cos x+\sin x)
(D) a) 2 \operatorname{sec} x
b) -3 \sin x \cdot e^{\cos x}
c) 10 x+5
d) e^{x}(\sin x-\cos x)

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas das quatro funções abaixo e depois escolher entre as alternativas dadas:

Funções:
\text{(A)}\quad y=\ln\!\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)
\text{(B)}\quad y=3e^{\cos x}
\text{\text{(C)}}\quad y=5x^{2}+5x-7
\text{(D)}\quad y=(\sin x)e^{x}

As alternativas apresentam quatro conjuntos de respostas (cada conjunto com as quatro derivadas a–d). Nosso objetivo é calcular cada derivada passo a passo e ver qual conjunto de alternativas coincide com os resultados.

Passo 2

Derivando (A). Primeiro usamos a identidade do logaritmo:
y=\ln(1+\sin x)-\ln(1-\sin x).
Regra de derivação do logaritmo: se y=\ln(u(x)) então y'=\dfrac{u'(x)}{u(x)}. Aplicando a cada termo:
y'=\frac{d}{dx}\ln(1+\sin x)-\frac{d}{dx}\ln(1-\sin x).
Calcule cada derivada: \dfrac{d}{dx}(1+\sin x)=\cos x e \dfrac{d}{dx}(1-\sin x)=-\cos x. Então
y'=\frac{\cos x}{1+\sin x}-\frac{-\cos x}{1-\sin x} =\frac{\cos x}{1+\sin x}+\frac{\cos x}{1-\sin x}.
Agora somamos as frações com denomínador comum (1+\sin x)(1-\sin x)=1-\sin^{2}x:
y'=\cos x\left(\frac{1-\sin x+1+\sin x}{1-\sin^{2}x}\right) =\cos x\left(\frac{2}{1-\sin^{2}x}\right).
Usamos a identidade trigonométrica 1-\sin^{2}x=\cos^{2}x, logo
y'=\cos x\left(\frac{2}{\cos^{2}x}\right)=\frac{2}{\cos x}=2\operatorname{sec} x.
Portanto a derivada de (A) é 2\operatorname{sec} x.

Passo 3

Derivando (B). A função é y=3e^{\cos x}. Regra: se y=a\cdot e^{g(x)} então y'=a\cdot g'(x)e^{g(x)} (regra da cadeia + derivada da exponencial). Aqui a=3 e g(x)=\cos x. Como g'(x)=-\sin x, temos
y'=3\cdot(-\sin x)\cdot e^{\cos x}=-3\sin x\; e^{\cos x}.
Portanto a derivada de (B) é -3\sin x\; e^{\cos x}.

Passo 4

Derivando (C). A função é um polinômio y=5x^{2}+5x-7. Usamos a regra do poder: se y=x^{n} então y'=n x^{n-1}, e a linearidade da derivada (derivada é feita termo a termo). Então
\frac{d}{dx}(5x^{2})=5\cdot 2x=10x,\qquad \frac{d}{dx}(5x)=5,\qquad \frac{d}{dx}(-7)=0.
Somando:
y'=10x+5.
Portanto a derivada de (C) é 10x+5.

Passo 5

Derivando (D). A função é produto y=(\sin x)e^{x}. Usamos a regra do produto: se y=u(x)v(x) então y'=u'(x)v(x)+u(x)v'(x). Tome u(x)=\sin x e v(x)=e^{x}. Então u'(x)=\cos x e v'(x)=e^{x}. Aplicando:
y'=\cos x\cdot e^{x} + \sin x\cdot e^{x}.
Fatorando e^{x}:
y'=e^{x}(\cos x+\sin x).
Portanto a derivada de (D) é e^{x}(\cos x+\sin x).

Passo 6

Resumo das derivadas que obtivemos:
\text{(A)}\; y'=2\operatorname{sec} x
\text{(B)}\; y'=-3\sin x\; e^{\cos x}
\text{\text{(C)}}\; y'=10x+5
\text{(D)}\; y'=e^{x}(\cos x+\sin x)
Comparei esses quatro resultados com os conjuntos de alternativas fornecidas; há um conjunto das alternativas que coincide exatamente com essas quatro expressões.

Resposta

(A)

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