Questão 3 (0.5 ponto)
Calcule as derivadas das seguintes funções:
(A)
.
(B)
.
(C)
.
(D)
.
Alternativas:
(A) a)
b)
c)
d)
(B) a)
b)
c)
d)
(C) a)
b)
c)
d)
(D) a)
b)
c)
d)
(A)
(B)
(C)
(D)
(A) a)
b)
c)
d)
(B) a)
b)
c)
d)
(C) a)
b)
c)
d)
(D) a)
b)
c)
d)
Passo 1
O enunciado pede para calcular as derivadas das quatro funções abaixo e depois escolher entre as alternativas dadas:
Funções:
Funções:
As alternativas apresentam quatro conjuntos de respostas (cada conjunto com as quatro derivadas a–d). Nosso objetivo é calcular cada derivada passo a passo e ver qual conjunto de alternativas coincide com os resultados.
Passo 2
Derivando (A). Primeiro usamos a identidade do logaritmo:
Regra de derivação do logaritmo: se
então
. Aplicando a cada termo:
Calcule cada derivada:
e
. Então
Agora somamos as frações com denomínador comum
:
Usamos a identidade trigonométrica
, logo
Portanto a derivada de (A) é
.
Passo 3
Derivando (B). A função é
. Regra: se
então
(regra da cadeia + derivada da exponencial). Aqui
e
. Como
, temos
Portanto a derivada de (B) é
.
Passo 4
Derivando (C). A função é um polinômio
. Usamos a regra do poder: se
então
, e a linearidade da derivada (derivada é feita termo a termo). Então
Somando:
Portanto a derivada de (C) é
.
Passo 5
Derivando (D). A função é produto
. Usamos a regra do produto: se
então
. Tome
e
. Então
e
. Aplicando:
Fatorando
:
Portanto a derivada de (D) é
.
Passo 6
Resumo das derivadas que obtivemos:
Comparei esses quatro resultados com os conjuntos de alternativas fornecidas; há um conjunto das alternativas que coincide exatamente com essas quatro expressões.
Resposta
(A)