Questão 14 (0.5 ponto)

O volume de um cubo, cujo comprimento da aresta é em centímetros, aumenta a uma taxa de 300 \mathrm{~cm}^{3} / \mathrm{min}. Determine a taxa de variação instantânea do comprimento da aresta em relação ao tempo quando o volume do cubo é de 512 \mathrm{~cm}^{3}.
(a) \frac{25}{16} \mathrm{~cm} / \mathrm{min}
(b) \frac{300}{512} \mathrm{~cm} / \mathrm{min}
(c) \frac{5}{4} \mathrm{~cm} / \mathrm{min}
(d) \frac{75}{64} \mathrm{~cm} / \mathrm{min}
(e) Nenhuma das anteriores

Passo 1

O enunciado pede a taxa instantânea de variação do comprimento da aresta em relação ao tempo, ou seja, quer \frac{ds}{dt} no instante em que o volume do cubo vale 512\\ \mathrm{cm}^3.
Informações dadas:
  • A aresta do cubo é s (em \mathrm{cm}) e depende do tempo t (em \mathrm{min}).
  • A relação entre volume e aresta é dada (implícita pelo cubo).
  • A taxa de variação do volume é \frac{dV}{dt}=300\\ \mathrm{cm}^3/\mathrm{min}.
  • Precisamos \frac{ds}{dt} quando V=512\\ \mathrm{cm}^3.

Passo 2

Escrevemos a relação geométrica entre volume e aresta:
V = s^3
Aqui V é o volume em \mathrm{cm}^3, s é o comprimento da aresta em \mathrm{cm}, e t é o tempo em \mathrm{min}.

Passo 3

Como s depende de t, diferenciamos ambos os lados em relação a t. Usamos a regra da cadeia: derivada de s^3 em relação a t é 3s^2 vezes a derivada de s em relação a t. Em forma:
\frac{dV}{dt} = 3s^2\frac{ds}{dt}.
Explicação da regra da cadeia: se uma variável y depende de u e u depende de t, então \frac{dy}{dt}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dt}. Aqui y=s^3, u=s.

Passo 4

Para avaliar \frac{ds}{dt} no instante pedido, precisamos do valor de s quando V=512. Como V=s^3, temos:
s=\sqrt[3]{V}=\sqrt[3]{512}=8\\ \mathrm{cm}.
Expliquei: tirei a raiz cúbica de 512 porque 8^3=512.

Passo 5

Agora substituímos \frac{dV}{dt}=300 e s=8 na equação derivada e isolamos \frac{ds}{dt}:
\frac{ds}{dt}=\frac{\frac{dV}{dt}}{3s^2}=\frac{300}{3\cdot 8^2}=\frac{300}{192}.
Isso já é a expressão algébrica da taxa procurada; o raciocínio foi dividir a taxa de volume pela taxa geométrica 3s^2.

Passo 6

Verificação de unidades e simplificação mental: \frac{dV}{dt} tem unidades \mathrm{cm}^3/\mathrm{min} e 3s^2 tem unidades \mathrm{cm}^2, logo o quociente tem unidades \mathrm{cm}/\mathrm{min}, conforme esperado. Podemos simplificar a fração para obter o valor final na forma mais simples (faça essa simplificação na prova para apresentar a resposta limpa).

Passo 7

Dica rápida para a prova: sempre escreva V=s^3, diferencie implicitamente para obter \frac{dV}{dt}=3s^2\frac{ds}{dt}, calcule s a partir de V e substitua. Esse padrão aparece muito em problemas de taxas relacionadas a sólidos que mudam de tamanho.

Resposta

(a) \dfrac{25}{16}\\ \mathrm{cm}/\mathrm{min}

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