Questão 14 (0.5 ponto)
O volume de um cubo, cujo comprimento da aresta é em centímetros, aumenta a uma taxa de
. Determine a taxa de variação instantânea do comprimento da aresta em relação ao tempo quando o volume do cubo é de
.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e) Nenhuma das anteriores
(a)
(b)
(c)
(d)
(e) Nenhuma das anteriores
Passo 1
O enunciado pede a taxa instantânea de variação do comprimento da aresta em relação ao tempo, ou seja, quer
no instante em que o volume do cubo vale
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A aresta do cubo é
(em ) e depende do tempo (em ). - A relação entre volume e aresta é dada (implícita pelo cubo).
- A taxa de variação do volume é
. - Precisamos
quando .
Passo 2
Escrevemos a relação geométrica entre volume e aresta:
Aqui
é o volume em
,
é o comprimento da aresta em
, e
é o tempo em
.
Passo 3
Como
depende de
, diferenciamos ambos os lados em relação a
. Usamos a regra da cadeia: derivada de
em relação a
é
vezes a derivada de
em relação a
. Em forma:
Explicação da regra da cadeia: se uma variável
depende de
e
depende de
, então
. Aqui
,
.
Passo 4
Para avaliar
no instante pedido, precisamos do valor de
quando
. Como
, temos:
Expliquei: tirei a raiz cúbica de
porque
.
Passo 5
Agora substituímos
e
na equação derivada e isolamos
:
Isso já é a expressão algébrica da taxa procurada; o raciocínio foi dividir a taxa de volume pela taxa geométrica
.
Passo 6
Verificação de unidades e simplificação mental:
tem unidades
e
tem unidades
, logo o quociente tem unidades
, conforme esperado. Podemos simplificar a fração para obter o valor final na forma mais simples (faça essa simplificação na prova para apresentar a resposta limpa).
Passo 7
Dica rápida para a prova: sempre escreva
, diferencie implicitamente para obter
, calcule
a partir de
e substitua. Esse padrão aparece muito em problemas de taxas relacionadas a sólidos que mudam de tamanho.
Resposta
(a)