Questāo 3 (1.5 ponto). Determine se o campo vetorial é conservativo ou não. Se conservativo, determine uma função f tal que F=\nabla f.
F(x, y, z)=x e^{y} \vec{i}+y e^{x} \vec{j}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se o campo vetorial é conservativo e, se for, encontrar uma função f tal que F=\nabla f. O campo dado é
F(x,y,z)=x e^{y}\,\vec{i}+y e^{x}\,\vec{j}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
P(x,y,z)=x e^{y},\qquad Q(x,y,z)=y e^{x},\qquad R(x,y,z)=0.
O domínio natural deste campo é todo \mathbb{R}^3 (as funções exponenciais e produtos estão definidas para todos x,y,z).

Passo 2

O que significa ser conservativo (explicação didática): um campo vetorial F=(P,Q,R) é conservativo se existe uma função escalar f(x,y,z) tal que
\nabla f=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y},\frac{\partial f}{\partial z}\right)= (P,Q,R).
Isto equivale a exigir que \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}=P,\;\frac{\partial f}{\partial y}=Q,\;\frac{\partial f}{\partial z}=R.
Um teste prático (quando o domínio é simplesmente conectado, como \mathbb{R}^3) é calcular o rotacional (curl) do campo: se \nabla\times F=\mathbf{0} então F é conservativo; se o rotacional não for zero, F não é conservativo.

Passo 3

Vamos escrever a fórmula do rotacional e aplicá‑la ao nosso campo. Em forma de determinante:
\nabla\times F=\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\ \partial_x & \partial_y & \partial_z \\\ P & Q & R \end{vmatrix}.
Isso gera as componentes:
(\nabla\times F)_x=\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z},\qquad (\nabla\times F)_y=\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x},\qquad (\nabla\times F)_z=\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}.

Passo 4

Calculemos cada derivada parcial necessária (mostrando passo a passo):
\frac{\partial R}{\partial y}=\frac{\partial 0}{\partial y}=0,\qquad \frac{\partial Q}{\partial z}=\frac{\partial (y e^{x})}{\partial z}=0,
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(\nabla\times F)_x=0-0=0.
\frac{\partial P}{\partial z}=\frac{\partial (x e^{y})}{\partial z}=0,\qquad \frac{\partial R}{\partial x}=\frac{\partial 0}{\partial x}=0,
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(\nabla\times F)_y=0-0=0.
Agora a componente z:
\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial (y e^{x})}{\partial x}=y e^{x},\qquad \frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial (x e^{y})}{\partial y}=x e^{y},
portanto
(\nabla\times F)_z = y e^{x}-x e^{y}.

Passo 5

Juntando as componentes temos
\nabla\times F=(0,0,y e^{x}-x e^{y}).
Observe que a componente z não é identicamente zero para todos os (x,y,z). Por exemplo, em (x,y,z)=(1,0,0) temos
(\nabla\times F)_z = 0\cdot e^{1} - 1\cdot e^{0} = -1 \neq 0,
logo o rotacional é não nulo em pontos do domínio.

Passo 6

Conclusão do teste: o domínio é \mathbb{R}^3, que é simplesmente conectado, e o rotacional de F não é o vetor nulo em toda parte. Portanto F não é conservativo. Para reforçar a intuição, podemos tentar integrar P em relação a x e ver que a condição com Q não bate: integrando \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}=x e^{y} em x
f(x,y,z)=\frac{x^{2}}{2}e^{y}+g(y,z),
então
\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{x^{2}}{2}e^{y}+g_{y}(y,z),
mas isso deveria ser igual a Q=y e^{x}, o que não é possível para todos x,y (os dependências em x e y são incompatíveis). Isso confirma que não existe potencial f global.

Resposta

O campo F não é conservativo.

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