Questāo 3 (1.5 ponto). Determine se o campo vetorial é conservativo ou não. Se conservativo, determine uma função f tal que F=\nabla f. F(x, y, z)=x e^{y} \vec{i}+y e^{x} \vec{j}
Passo 1
O enunciado pede para determinar se o campo vetorial é conservativo e, se for, encontrar uma função f tal que F=\nabla f. O campo dado é
Isto equivale a exigir que \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}=P,\;\frac{\partial f}{\partial y}=Q,\;\frac{\partial f}{\partial z}=R.
Um teste prático (quando o domínio é simplesmente conectado, como \mathbb{R}^3) é calcular o rotacional (curl) do campo: se \nabla\times F=\mathbf{0} então F é conservativo; se o rotacional não for zero, F não é conservativo.
Passo 3
Vamos escrever a fórmula do rotacional e aplicá‑la ao nosso campo. Em forma de determinante:
\nabla\times F=\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\ \partial_x & \partial_y & \partial_z \\\ P & Q & R \end{vmatrix}.
logo o rotacional é não nulo em pontos do domínio.
Passo 6
Conclusão do teste: o domínio é \mathbb{R}^3, que é simplesmente conectado, e o rotacional de F não é o vetor nulo em toda parte. Portanto F não é conservativo. Para reforçar a intuição, podemos tentar integrar P em relação a x e ver que a condição com Q não bate: integrando \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}=x e^{y} em x dá
mas isso deveria ser igual a Q=y e^{x}, o que não é possível para todos x,y (os dependências em x e y são incompatíveis). Isso confirma que não existe potencial f global.