Questão 1 (1.0 ponto). Calcule a integral de linha ao longo da curva
dada com orientaçāo positiva:
, sendo
o círculo
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
onde
é o círculo
, com orientação positiva. Informações relevantes fornecidas:
- A curva
é fechada e é o contorno do disco . - A orientação positiva significa que o percurso é no sentido anti-horário (sentido trigonométrico).
- Podemos identificar as funções que aparecem na integral como
e . - As derivadas parciais de
e são contínuas em todo o plano, logo nas hipóteses do teorema de Green.
Passo 2
Vou usar o teorema de Green porque ele transforma integrais de linha de campos do tipo
ao longo de uma curva fechada em uma integral dupla sobre a região interior — isso costuma simplificar muito quando as derivadas parciais dão algo simples. Explico o teorema e por que ele se aplica aqui:
Passo 3
O enunciado provê uma integral de linha de uma forma diferencial
. O teorema de Green afirma o seguinte:
onde
é a região interior limitada por
, e a orientação de
deve ser positiva (anti-horário). Aqui
e
. As derivadas parciais necessárias existem e são contínuas em
, então podemos aplicar o teorema.
Passo 4
Calculo as derivadas parciais que aparecem no integrando do teorema de Green:
Portanto
Passo 5
Aplicando o teorema de Green, a integral de linha se transforma em uma integral dupla cujo integrando é zero:
Qualquer integral dupla de função identicamente zero sobre uma região finita é zero. A orientação positiva já foi considerada na hipótese do teorema.
Passo 6
Para dar confiança (e como checagem alternativa), faço rapidamente a parametrização do círculo: seja
com
. Então
Substituindo na integral obtemos
Isso simplifica para
Observando que
o integrando é a derivada de uma função periódica de período
, logo a integral sobre
é zero. Isso confirma o resultado obtido por Green.