Questão 1 (1.0 ponto). Calcule a integral de linha ao longo da curva C dada com orientaçāo positiva:
\int_{C} x^{3} d x-4 y^{3} d y, sendo C o círculo x^{2}+y^{2}=4.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
\int_{C} x^{3}\,dx - 4y^{3}\,dy
onde C é o círculo \,x^{2}+y^{2}=4, com orientação positiva. Informações relevantes fornecidas:
  • A curva C é fechada e é o contorno do disco D=\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\le 4\}.
  • A orientação positiva significa que o percurso é no sentido anti-horário (sentido trigonométrico).
  • Podemos identificar as funções que aparecem na integral como P(x,y)=x^{3} e Q(x,y)=-4y^{3}.
  • As derivadas parciais de P e Q são contínuas em todo o plano, logo nas hipóteses do teorema de Green.

Passo 2

Vou usar o teorema de Green porque ele transforma integrais de linha de campos do tipo P\,dx+Q\,dy ao longo de uma curva fechada em uma integral dupla sobre a região interior — isso costuma simplificar muito quando as derivadas parciais dão algo simples. Explico o teorema e por que ele se aplica aqui:

Passo 3

O enunciado provê uma integral de linha de uma forma diferencial P\,dx+Q\,dy. O teorema de Green afirma o seguinte:
\oint_{C} P\,dx + Q\,dy = \iint_{D} \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right) dA
onde D é a região interior limitada por C, e a orientação de C deve ser positiva (anti-horário). Aqui P(x,y)=x^{3} e Q(x,y)=-4y^{3}. As derivadas parciais necessárias existem e são contínuas em D, então podemos aplicar o teorema.

Passo 4

Calculo as derivadas parciais que aparecem no integrando do teorema de Green:
\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(-4y^{3}) = 0
\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(x^{3}) = 0
Portanto
\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 0 - 0 = 0.

Passo 5

Aplicando o teorema de Green, a integral de linha se transforma em uma integral dupla cujo integrando é zero:
\oint_{C} x^{3}\,dx - 4y^{3}\,dy = \iint_{D} 0 \, dA = 0.
Qualquer integral dupla de função identicamente zero sobre uma região finita é zero. A orientação positiva já foi considerada na hipótese do teorema.

Passo 6

Para dar confiança (e como checagem alternativa), faço rapidamente a parametrização do círculo: seja x=2\cos t,\; y=2\sin t com t\in[0,2\pi]. Então
dx = -2\sin t\,dt,\qquad dy = 2\cos t\,dt.
Substituindo na integral obtemos
\int_{0}^{2\pi}\bigl((2\cos t)^{3}(-2\sin t)-4(2\sin t)^{3}(2\cos t)\bigr)\,dt.
Isso simplifica para
\int_{0}^{2\pi}\bigl(-16\cos^{3}t\sin t -64\sin^{3}t\cos t\bigr)\,dt.
Observando que
-16\cos^{3}t\sin t = 4\frac{d}{dt}(\cos^{4}t)\qquad\text{e}\qquad -64\sin^{3}t\cos t = -16\frac{d}{dt}(\sin^{4}t),
o integrando é a derivada de uma função periódica de período 2\pi, logo a integral sobre [0,2\pi] é zero. Isso confirma o resultado obtido por Green.

Resposta

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