Questāo 2 (1.0 ponto). Marque V se verdadeiro e F se falso:
a) () A integral de linha de um campo vetorial conservativo depende somente das extremidades da curva.
b) () \int_{C} \vec{F} \cdot d r é independente do caminho em D se \int_{C} \vec{F} \cdot d r=0 para todo caminho fechado C em D.
c) () \operatorname{div}(\vec{F})=\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}\right) \vec{i}+\left(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}\right) \vec{j}+\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right) \vec{k}
d) () \operatorname{rot}(\vec{F})=\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}\right) \vec{i}+\left(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}\right) \vec{j}+\left(\frac{\partial Q}{\partial z}-\frac{\partial P}{\partial y}\right) \vec{k}
e) () \operatorname{Se} \operatorname{rot}(\vec{F})=\overrightarrow{0}, entāo \vec{F} é conservativo.

Passo 1

Você pediu para marcar V (verdadeiro) ou F (falso) nas cinco afirmativas abaixo. Vou listar cada uma exatamente como está no enunciado para que fique claro o que temos que analisar:
a) () A integral de linha de um campo vetorial conservativo depende somente das extremidades da curva.
b) () \int_{C} \vec{F} \cdot d r é independente do caminho em D se \int_{C} \vec{F} \cdot d r=0 para todo caminho fechado C em D.
c) () \operatorname{div}(\vec{F})=\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}\right)\vec{i}+\left(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}\right)\vec{j}+\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\vec{k}
d) () \operatorname{rot}(\vec{F})=\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}\right)\vec{i}+\left(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}\right)\vec{j}+\left(\frac{\partial Q}{\partial z}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\vec{k}
e) () Se \operatorname{rot}(\vec{F})=\overrightarrow{0}, então \vec{F} é conservativo.
Informações implícitas que usaremos: \vec{F}=(P,Q,R) com funções suficientemente diferenciáveis nas regiões em questão; C são curvas em D. Não há informação extra sobre o tipo topológico de D (por ex. se é simplesmente conexo), então quando este aspecto for relevante eu vou apontar isso.

Passo 2

Explicando o conceito chave (passo-a-passo, sem pular etapas): o que significa “campo vetorial conservativo” e qual a relação com integral de linha.
  • Definição prática: dizemos que \vec{F} é conservativo em uma região D se existe uma função escalar \varphi (chamada potencial) tal que
\vec{F}=\nabla\varphi=\left(\frac{\partial \varphi}{\partial x},\frac{\partial \varphi}{\partial y},\frac{\partial \varphi}{\partial z}\right).
Aqui \nabla\varphi significa o vetor das derivadas parciais de \varphi: a primeira componente é \partial \varphi/\partial x, a segunda é \partial \varphi/\partial y, a terceira é \partial \varphi/\partial z.
  • Propriedade fundamental (teorema da barra de ouro): se \vec{F}=\nabla\varphi, então a integral de linha de \vec{F} ao longo de uma curva orientada C de um ponto A até um ponto B satisfaz
\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec r=\varphi(B)-\varphi(A).
Explicando por que: a derivada direcional de \varphi ao longo da curva é \nabla\varphi\cdot \vec r'(t); integrar essa derivada entre os parâmetros endpoints dá \varphi(B)-\varphi(A) (teorema fundamental do cálculo). Não preciso do cálculo formal aqui, só a ideia: ao ter potencial, a integral “colapsa” à diferença de valores do potencial nas extremidades.
  • Consequência imediata (para a afirmativa a): se \vec{F} é conservativo então, por essa propriedade, a integral de linha depende apenas de A e B (as extremidades), e não do caminho escolhido entre eles. Então a afirmativa a) exprime precisamente essa propriedade.

Passo 3

Explicando a equivalência caminho-independente ↔ integral sobre curvas fechadas é zero (passo-a-passo e prova curta):
  • Primeiro: se a integral é independente do caminho em D, então para qualquer curva fechada C (começa e termina no mesmo ponto), podemos ver C como um caminho de A para A e então a integral dá \varphi(A)-\varphi(A)=0. Logo independência do caminho implica integral em qualquer fechado é zero.
  • Segundo (converso): suponha que \int_{C}\vec{F}\cdot d\vec r=0 para todo caminho fechado C em D. Agora tome dois caminhos C_1 e C_2 em D que ligam o mesmo ponto A a B. Se eu seguir C_1 de A até B e depois C_2 no sentido inverso (voltar de B a A), obtenho uma curva fechada C. A integral sobre C é a integral sobre C_1 mais a integral sobre -C_2 (o inverso), ou seja
0=\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec r=\int_{C_1}\vec{F}\cdot d\vec r-\int_{C_2}\vec{F}\cdot d\vec r.
Então \int_{C_1}\vec{F}\cdot d\vec r=\int_{C_2}\vec{F}\cdot d\vec r. Isso mostra que o valor da integral entre A e B não depende do caminho escolhido: independencia do caminho.
  • Conclusão da regra lógica: a condição “integral em todo fechado é zero” é equivalente à independência do caminho (não requereremos aqui hipóteses adicionais sobre D; a prova acima é puramente formal e local às curvas consideradas).
Isto mostra que a afirmativa b) (que enuncia essa implicação/conversão) está expressando uma equivalência correta.

Passo 4

O que é divergência e por que a afirmativa c) está errada (detalhes e fórmula correta):
  • Definição: para \vec{F}=(P,Q,R), a divergência é a soma das derivadas parciais das componentes em relação às suas variáveis correspondentes:
\operatorname{div}(\vec{F})=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}.
Intuição: mede a “taxa de saída” local do campo (se as setinhas saem, divergência positiva; se entram, negativa).
  • Comparando com a afirmativa c): nela aparece um vetor cujas componentes são combinações do tipo \frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z} etc. Essas expressões não são soma de derivadas nas mesmas variáveis; elas são, na verdade, componentes do rotacional (curl). Portanto a fórmula escrita em c) não é a divergência, é (parcialmente) a expressão do rotacional. Logo a afirmativa c) está incorreta.

Passo 5

O que é rotacional (curl) e verificação da afirmativa d):
  • Definição (fórmula prática, forma determinantal): para \vec{F}=(P,Q,R),
\operatorname{rot}(\vec{F})=\nabla\times\vec{F}= \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\\ P & Q & R \end{vmatrix}.
Ao desenvolver o determinante obtemos as componentes:
\operatorname{rot}(\vec{F})=\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}\right)\vec{i}+\left(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}\right)\vec{j}+\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\vec{k}.
Note que a terceira componente (coeficiente de \vec{k}) é \displaystyle\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}.
  • Agora compare com a afirmativa d): ela tem as duas primeiras componentes iguais às do rotacional correto, mas na terceira componente ela escreveu \displaystyle\frac{\partial Q}{\partial z}-\frac{\partial P}{\partial y}. Repare que esse termo tem \partial Q/\partial z em vez de \partial Q/\partial x: portanto está errado (a derivada parcial de Q deve ser em relação a x, não a z). Assim a fórmula em d) está incorreta.

Passo 6

Sobre a implicação “rotacional nulo ⇒ conservativo” (afirmativa e) — quando ela vale e quando falha; contraexemplo concreto e cálculo passo-a-passo.
  • Observação teórica: se \vec{F} é conservativo então \operatorname{rot}(\vec{F})=\overrightarrow{0}. Ou seja, conservativo ⇒ curl nulo (necessária). O problema é a recíproca: curl nulo ⇒ conservativo? Nem sempre; falta uma hipótese topológica sobre a região D (tipicamente pede-se que D seja simplesmente conexo). Sem essa hipótese, a recíproca pode falhar.
  • Contraexemplo clássico (plano com um furo): considere o campo no plano (podemos ver isso em 3D com componente z nula)
\vec{F}(x,y)=\left(-\frac{y}{x^{2}+y^{2}},\;\frac{x}{x^{2}+y^{2}},\;0\right),
definido em D=\mathbb{R}^{2}\setminus\{(0,0)\} (ou em \mathbb{R}^3 removendo o eixo z para estender). Esse é o campo que dá as direções angulares ao redor da origem.
  • Cálculo do rotacional (componente \vec{k}, já que P=P(x,y),Q=Q(x,y),R=0): o componente \vec{k} do rotacional é
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}.
Faça as derivadas (eu mostro passo a passo para você saber fazer na prova):
Calcule \frac{\partial Q}{\partial x} com Q(x,y)=\dfrac{x}{x^{2}+y^{2}}.
Usando a regra do quociente:
\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{(1)(x^{2}+y^{2})-x(2x)}{(x^{2}+y^{2})^{2}}=\frac{x^{2}+y^{2}-2x^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}=\frac{y^{2}-x^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.
Calcule \frac{\partial P}{\partial y} com P(x,y)=-\dfrac{y}{x^{2}+y^{2}}.
Usando a regra do quociente:
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{(-1)(x^{2}+y^{2})-(-y)(2y)}{(x^{2}+y^{2})^{2}}=\frac{-x^{2}-y^{2}+2y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}=\frac{-x^{2}+y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.
Agora subtraindo:
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{y^{2}-x^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}-\frac{-x^{2}+y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}=0.
Portanto \operatorname{rot}(\vec{F})=\overrightarrow{0} em D (toda vez que x^{2}+y^{2}\neq 0).
  • Apesar do rotacional ser zero, o campo não é conservativo em D. Para ver isso calcule a integral ao redor da circunferência unidade C (centro na origem, orientada positivamente). Parametrização: \vec r(t)=(\cos t,\sin t), 0\le t\le 2\pi. Então
\vec{F}(\vec r(t))=\big(-\sin t,\cos t,0\big)
e
\vec r'(t)=(-\sin t,\cos t,0).
O produto escalar é
\vec{F}(\vec r(t))\cdot\vec r'(t)=(-\sin t)(-\sin t)+(\cos t)(\cos t)=\sin^{2}t+\cos^{2}t=1.
Logo a integral sobre C é
\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec r=\int_{0}^{2\pi}1\,dt=2\pi\neq 0.
Se \vec{F} fosse conservativo em D, toda integral sobre curva fechada deveria ser zero. Como encontramos uma curva fechada com integral diferente de zero, \vec{F} não é conservativo. Este exemplo mostra explicitamente que ter \operatorname{rot}(\vec{F})=\overrightarrow{0} não garante que \vec{F} seja conservativo, quando a região tem um “buraco” (aqui o ponto (0,0) removido).
  • Conclusão conceitual: para garantir a recíproca (rotacional nulo ⇒ conservativo) costuma-se exigir que a região D seja simplesmente conexa (sem buracos). Sem essa hipótese, a implicação pode falhar como o contraexemplo acima demonstra.

Passo 7

Resumo das análises feitas nos passos anteriores (vou deixar a listagem definitiva das respostas somente no bloco final pedido, mas aqui recapitulo as ideias que levaram às respostas):
  • a) Afirmativa corresponde à propriedade básica de campos com potencial (conservativos): integral depende só das extremidades — isso é verdadeiro.
  • b) Mostrei a equivalência entre independência de caminho e integral em todo fechado ser zero — isso é verdadeiro.
  • c) A expressão dada apresenta componentes típicas do rotacional, não a soma das derivadas que define a divergência — portanto está incorreta.
  • d) A fórmula do rotacional tem a terceira componente \displaystyle\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}; a afirmativa d) escreveu \displaystyle\frac{\partial Q}{\partial z}-\frac{\partial P}{\partial y}, que é erro (derivada em relação a z em vez de x) — incorreta.
  • e) Mostrei que rotacional nulo é necessário mas não suficiente sem hipótese topológica (contraexemplo apresentado) — portanto a afirmativa e) é falsa em geral.

Resposta

a) V
b) V
c) F
d) F
e) F

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