Questão 3 ( 1,0 ponto): Determine a matriz jacobiana de
f(x, y, z)=\left(3 z \mathrm{e}^{4 x y}, 5 x z \cos (6 y)\right)
no ponto ( 5,4,7 ).
[D f(5,4,7)]=[

Passo 1

O enunciado dá a função de duas componentes em três variáveis
f(x,y,z)=\big(3z\,\mathrm{e}^{4xy},\;5xz\cos(6y)\big)
e pede para determinar a matriz jacobiana de f no ponto (5,4,7), ou seja, calcular [D f(5,4,7)]. As informações relevantes são:
\text{componente 1: } f_1(x,y,z)=3z\,\mathrm{e}^{4xy},
\text{componente 2: } f_2(x,y,z)=5xz\cos(6y),
e o ponto onde avaliaremos as derivadas é (x,y,z)=(5,4,7).

Passo 2

O que é a matriz jacobiana neste contexto e como vamos montá-la. A matriz jacobiana de f=(f_1,f_2) é a matriz 2\times3 cujas entradas são as derivadas parciais de cada componente em relação a cada variável. Em fórmula:
[D f(x,y,z)] = \begin{pmatrix} \displaystyle \frac{\partial f_1}{\partial x} & \displaystyle \frac{\partial f_1}{\partial y} & \displaystyle \frac{\partial f_1}{\partial z} \\[6pt] \displaystyle \frac{\partial f_2}{\partial x} & \displaystyle \frac{\partial f_2}{\partial y} & \displaystyle \frac{\partial f_2}{\partial z} \end{pmatrix}.
Ou seja, calculamos as seis derivadas parciais e colocamos na ordem mostrada.]

Passo 3

Regras de diferenciação que usaremos (explicadas de forma simples):
  • Derivada de uma exponencial do tipo \mathrm{e}^{g(x,y,z)} é \mathrm{e}^{g(x,y,z)} vezes a derivada de g (regra da cadeia). Em símbolos, \dfrac{\partial}{\partial x}\mathrm{e}^{g}= \mathrm{e}^{g}\dfrac{\partial g}{\partial x}.
  • Derivada de um produto u\cdot v em relação a uma variável usa a regra do produto: \dfrac{\partial}{\partial x}(u v)=u\,\dfrac{\partial v}{\partial x}+v\,\dfrac{\partial u}{\partial x}.
  • Derivada de \cos(6y) em relação a y é -\sin(6y)\cdot 6 (regra da cadeia).
Vamos aplicar essas regras componente a componente.

Passo 4

Cálculo das derivadas parciais de f_1(x,y,z)=3z\,\mathrm{e}^{4xy}.
  1. Derivada parcial em relação a x. Aqui z é tratado como constante. Usamos a regra da cadeia sobre \mathrm{e}^{4xy}:
\frac{\partial f_1}{\partial x} =3z\cdot \frac{\partial}{\partial x}\big(\mathrm{e}^{4xy}\big) =3z\cdot \mathrm{e}^{4xy}\cdot \frac{\partial}{\partial x}(4xy).
Como \dfrac{\partial}{\partial x}(4xy)=4y, obtemos
\frac{\partial f_1}{\partial x}=3z\cdot \mathrm{e}^{4xy}\cdot 4y=12\,y z\,\mathrm{e}^{4xy}.
  1. Derivada parcial em relação a y. Similarmente,
\frac{\partial f_1}{\partial y}=3z\cdot \mathrm{e}^{4xy}\cdot \frac{\partial}{\partial y}(4xy) =3z\cdot \mathrm{e}^{4xy}\cdot 4x=12\,x z\,\mathrm{e}^{4xy}.
  1. Derivada parcial em relação a z. Aqui \mathrm{e}^{4xy} é tratado como constante:
\frac{\partial f_1}{\partial z}=3\cdot \mathrm{e}^{4xy}.
Resumo para f_1:
\frac{\partial f_1}{\partial x}=12\,y z\,\mathrm{e}^{4xy},\quad \frac{\partial f_1}{\partial y}=12\,x z\,\mathrm{e}^{4xy},\quad \frac{\partial f_1}{\partial z}=3\,\mathrm{e}^{4xy}.

Passo 5

Cálculo das derivadas parciais de f_2(x,y,z)=5xz\cos(6y).
  1. Derivada parcial em relação a x. Aqui \cos(6y) e z são constantes:
\frac{\partial f_2}{\partial x}=5z\cos(6y).
  1. Derivada parcial em relação a y. Agora 5xz é tratado como constante multiplicando \cos(6y). Usamos a derivada de \cos(6y):
\frac{\partial f_2}{\partial y}=5xz\cdot \frac{d}{dy}\big(\cos(6y)\big) =5xz\cdot\big(-\sin(6y)\big)\cdot 6=-30\,x z\,\sin(6y).
  1. Derivada parcial em relação a z. Aqui \cos(6y) e x são constantes:
\frac{\partial f_2}{\partial z}=5x\cos(6y).
Resumo para f_2:
\frac{\partial f_2}{\partial x}=5z\cos(6y),\quad \frac{\partial f_2}{\partial y}=-30\,x z\,\sin(6y),\quad \frac{\partial f_2}{\partial z}=5x\cos(6y).

Passo 6

Avaliação das derivadas no ponto (x,y,z)=(5,4,7).
Primeiro calculemos o expoente para a parte exponencial:
4xy=4\cdot 5\cdot 4=80,
portanto \mathrm{e}^{4xy}=\mathrm{e}^{80}.
Agora substituímos nas expressões encontradas:
Para f_1:
\left.\frac{\partial f_1}{\partial x}\right|_{(5,4,7)} =12\cdot y\cdot z\cdot \mathrm{e}^{4xy} =12\cdot 4\cdot 7\cdot \mathrm{e}^{80} =336\,\mathrm{e}^{80}.
\left.\frac{\partial f_1}{\partial y}\right|_{(5,4,7)} =12\cdot x\cdot z\cdot \mathrm{e}^{4xy} =12\cdot 5\cdot 7\cdot \mathrm{e}^{80} =420\,\mathrm{e}^{80}.
\left.\frac{\partial f_1}{\partial z}\right|_{(5,4,7)} =3\,\mathrm{e}^{80}.
Para f_2 note que 6y=6\cdot 4=24 (valor em radianos):
\left.\frac{\partial f_2}{\partial x}\right|_{(5,4,7)} =5z\cos(6y)=5\cdot 7\cdot \cos(24)=35\cos(24).
\left.\frac{\partial f_2}{\partial y}\right|_{(5,4,7)} =-30\,x z\,\sin(6y)=-30\cdot 5\cdot 7\cdot \sin(24)=-1050\sin(24).
\left.\frac{\partial f_2}{\partial z}\right|_{(5,4,7)} =5x\cos(6y)=5\cdot 5\cdot \cos(24)=25\cos(24).

Passo 7

Montagem final da matriz jacobiana avaliada em (5,4,7). Colocando as entradas na ordem linha por linha:
[D f(5,4,7)] = \begin{pmatrix} 336\,\mathrm{e}^{80} & 420\,\mathrm{e}^{80} & 3\,\mathrm{e}^{80} \\[6pt] 35\cos(24) & -1050\sin(24) & 25\cos(24) \end{pmatrix}.]

Resposta

\begin{pmatrix} 336\,\mathrm{e}^{80} & 420\,\mathrm{e}^{80} & 3\,\mathrm{e}^{80} \\[6pt] 35\cos(24) & -1050\sin(24) & 25\cos(24) \end{pmatrix}]

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