Questão 9 ( \mathbf{1 , 0} ponto): Determine o único ponto crítico de
f(x, y)=\left(y^{2}+6 y+9+5 x\right) \mathrm{e}^{-5 x}
e classifique-o como máximo local, mínimo local ou ponto de sela.
Atenção: Se o ponto crítico estiver incorreto, a classificação será desconsiderada.
Ponto crítico: \square
Classificação: \square

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=\left(y^{2}+6y+9+5x\right)e^{-5x}
e pede duas coisas: (1) determinar o único ponto crítico de f e (2) classificá‑lo como máximo local, mínimo local ou ponto de sela. Informações relevantes: a função está definida para todo par (x,y)\in\mathbb{R}^2 e o termo e^{-5x} nunca se anula (ou seja, é sempre diferente de zero).

Passo 2

O que é um ponto crítico e como achá‑lo (aula rápida): um ponto crítico de uma função de duas variáveis é um ponto onde o gradiente é o vetor zero, isto é, onde as derivadas parciais primeiras se anulam simultaneamente. Formalmente, se
\nabla f(x,y)=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y}\right),
então um ponto crítico satisfaz
\frac{\partial f}{\partial x}=0,\qquad \frac{\partial f}{\partial y}=0.
Para obter as derivadas parciais usamos regras básicas: derivada parcial em relação a x trata y como constante e vice‑versa; usamos também a regra do produto e a regra da cadeia quando necessário.

Passo 3

Calculemos as derivadas parciais de f. Para facilitar, defina
g(x,y)=y^{2}+6y+9+5x.
Então f(x,y)=g(x,y)\,e^{-5x}. Aplicando a regra do produto:
\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial g}{\partial x}e^{-5x}+g\cdot\frac{d}{dx}(e^{-5x}).
Como \frac{\partial g}{\partial x}=5 e \frac{d}{dx}(e^{-5x})=-5e^{-5x}, temos
\frac{\partial f}{\partial x}=5e^{-5x}-5g\,e^{-5x}=5e^{-5x}(1-g).
Agora a derivada parcial em y:
\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{\partial g}{\partial y}e^{-5x},
e \frac{\partial g}{\partial y}=2y+6=2(y+3), portanto
\frac{\partial f}{\partial y}=2(y+3)e^{-5x}.

Passo 4

Imponha as equações do gradiente igual a zero. Começando por \partial f/\partial y=0:
2(y+3)e^{-5x}=0.
Como e^{-5x}\neq 0 para todo x, a única solução vem de 2(y+3)=0, isto é
y=-3.

Passo 5

Agora use \partial f/\partial x=0:
5e^{-5x}(1-g)=0.
De novo 5e^{-5x}\neq 0, logo precisamos de 1-g=0, isto é g=1. Lembrando g=y^{2}+6y+9+5x, substituindo y=-3 obtemos
g=(-3)^{2}+6(-3)+9+5x=9-18+9+5x=5x.
Então a condição g=1 vira 5x=1, portanto
x=\frac{1}{5}.
Concluímos que existe um único ponto crítico:
\left(\frac{1}{5},-3\right).

Passo 6

Para classificar o ponto crítico aplicamos o teste das derivadas segundas. Precisamos de \frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}, \frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}} e \frac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y}.
Já temos \frac{\partial f}{\partial x}=5e^{-5x}(1-g). Derivando em x:
\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}} =5\frac{d}{dx}\bigl(e^{-5x}(1-g)\bigr) =5e^{-5x}\bigl(-5(1-g)-g_x\bigr),
onde g_x=5. Assim
\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}=5e^{-5x}(-5(1-g)-5)=5e^{-5x}(5g-10)=25e^{-5x}(g-2).
Para \frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}}, a partir de \frac{\partial f}{\partial y}=2(y+3)e^{-5x} temos
\frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}}=2e^{-5x}.
E para a derivada mista:
\frac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(5e^{-5x}(1-g)\bigr) =-5e^{-5x}g_y=-5e^{-5x}\cdot 2(y+3)=-10(y+3)e^{-5x}.

Passo 7

Avalie as segundas derivadas no ponto crítico \left(\frac{1}{5},-3\right). Primeiro calcule g lá: como em Passo 5, para y=-3 temos g=5x, então em x=\frac{1}{5} tem‑se g=1. Agora as segundas derivadas:
\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}\Big|_{\left(\frac{1}{5},-3\right)}=25e^{-5x}(g-2)\Big|_{g=1,x=\frac{1}{5}}=25e^{-1}(1-2)=-25e^{-1},
\frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}}\Big|_{\left(\frac{1}{5},-3\right)}=2e^{-5x}\Big|_{x=\frac{1}{5}}=2e^{-1},
\frac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y}\Big|_{\left(\frac{1}{5},-3\right)}=-10(y+3)e^{-5x}\Big|_{y=-3}=0.
Agora o determinante de Hessiano no ponto (denotado por D) é
D=f_{xx}f_{yy}-\bigl(f_{xy}\bigr)^{2}=(-25e^{-1})(2e^{-1})-0=-50e^{-2}.
Como D<0, o teste das segundas derivadas diz que o ponto crítico é um ponto de sela (se D>0 e f_{xx}>0 seria mínimo, se D>0 e f_{xx}<0 seria máximo; D<0 implica sela).

Resposta

Ponto crítico: \left(\frac{1}{5},-3\right)
Classificação: ponto de sela

Exercícios relacionados