Questão 4 ( 1,0 ponto): Seja
tal que
. Determine
para
e
:
Passo 1
O enunciado dá a função
e os valores no ponto
:
Pede-se a derivada direcional de
em
na direção
, ou seja, calcular
Passo 2
Vamos entender o que significam
e
. Como
tem valor em
, cada derivada parcial é um vetor em
. Especificamente:
Esses vetores representam as taxas de variação de
quando movemos
apenas na direção dos eixos
e
, respectivamente.
Passo 3
A matriz jacobiana (a derivada total linear) de
em
é formada por essas derivadas parciais como colunas. Logo
A derivada direcional na direção de um vetor
é a aplicação linear
sobre
. Em fórmula:
Isto vem da definição de derivada direcional como
, que para funções diferenciáveis coincide com a aplicação da matriz jacobiana ao vetor
.]
Passo 4
Agora aplicamos a fórmula com
. Usando a combinação linear:
Substituindo os vetores:
Passo 5
Calculemos componente a componente. Primeira componente:
Segunda componente: