Questão 4 ( 1,0 ponto): Seja f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} tal que f(4,5)=(1,13), f_{x}(4,5)=(7,12), f_{y}(4,5)=(9,14). Determine \partial_{\vec{v}} f(a) para a=(4,5) e \vec{v}=(11,2) :
\partial_{\vec{v}} f(a)=\square

Passo 1

O enunciado dá a função f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 e os valores no ponto a=(4,5):
f(4,5)=(1,13),\qquad f_x(4,5)=(7,12),\qquad f_y(4,5)=(9,14).
Pede-se a derivada direcional de f em a na direção \vec{v}=(11,2), ou seja, calcular
\partial_{\vec{v}} f(a)=\square.

Passo 2

Vamos entender o que significam f_x(a) e f_y(a). Como f tem valor em \mathbb{R}^2, cada derivada parcial é um vetor em \mathbb{R}^2. Especificamente:
f_x(a)=\begin{pmatrix}7\\\ 12\end{pmatrix},\qquad f_y(a)=\begin{pmatrix}9\\\ 14\end{pmatrix}.
Esses vetores representam as taxas de variação de f quando movemos a apenas na direção dos eixos x e y, respectivamente.

Passo 3

A matriz jacobiana (a derivada total linear) de f em a é formada por essas derivadas parciais como colunas. Logo
Df(a)=\begin{pmatrix}7 & 9\\[4pt]12 & 14\end{pmatrix}.
A derivada direcional na direção de um vetor \vec{v}=(v_1,v_2) é a aplicação linear Df(a) sobre \vec{v}. Em fórmula:
\partial_{\vec{v}} f(a)=Df(a)\,\vec{v}=v_1\,f_x(a)+v_2\,f_y(a).
Isto vem da definição de derivada direcional como \lim_{t\to0}\frac{f(a+t\vec{v})-f(a)}{t}, que para funções diferenciáveis coincide com a aplicação da matriz jacobiana ao vetor \vec{v}.]

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula com \vec{v}=(11,2). Usando a combinação linear:
\partial_{\vec{v}} f(a)=11\cdot f_x(a)+2\cdot f_y(a).
Substituindo os vetores:
\partial_{\vec{v}} f(a)=11\begin{pmatrix}7\\\ 12\end{pmatrix}+2\begin{pmatrix}9\\\ 14\end{pmatrix}.

Passo 5

Calculemos componente a componente. Primeira componente:
11\cdot 7 + 2\cdot 9 = 77 + 18 = 95.
Segunda componente:
11\cdot 12 + 2\cdot 14 = 132 + 28 = 160.

Resposta

(95,160)

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