QUESTÃO 4 (1 ponto) - Determine a matriz A a partir da informação dada.
\left(5 A^{T}\right)^{-1}=\left[\begin{array}{cc}-3 & 0 \\\\ 3 & 4\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá \,(5A^T)^{-1} = \begin{pmatrix}-3 & 0 \\[3pt] 3 & 4\end{pmatrix} e pede a matriz A. Vamos usar propriedades de inversão de matrizes e transposição para isolá-la.]

Passo 2

Aplicamos inversão em ambos os lados. Como \bigl((5A^T)^{-1}\bigr)^{-1}=5A^T, obtemos
5A^T \;=\;\begin{pmatrix}-3 & 0 \\[3pt] 3 & 4\end{pmatrix}^{-1}.]

Passo 3

Calculemos o inverso da matriz
M = \begin{pmatrix}-3 & 0 \\[3pt] 3 & 4\end{pmatrix}.
O determinante é
\det(M)=(-3)\cdot4 - 0\cdot3 = -12,
portanto
M^{-1} = \frac{1}{\det(M)}\begin{pmatrix}d & -b \\[3pt] -c & a\end{pmatrix} = \frac{1}{-12}\begin{pmatrix}4 & 0 \\[3pt] -3 & -3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-\tfrac{1}{3} & 0 \\[3pt] \tfrac{1}{4} & \tfrac{1}{4}\end{pmatrix}.]

Passo 4

Da etapa anterior temos
5A^T = M^{-1} = \begin{pmatrix}-\tfrac{1}{3} & 0 \\[3pt] \tfrac{1}{4} & \tfrac{1}{4}\end{pmatrix},
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A^T = \frac{1}{5}\,M^{-1} = \begin{pmatrix}-\tfrac{1}{15} & 0 \\[3pt] \tfrac{1}{20} & \tfrac{1}{20}\end{pmatrix}.]

Passo 5

Basta transpor para obter A:
A = \bigl(A^T\bigr)^T = \begin{pmatrix}-\tfrac{1}{15} & \tfrac{1}{20} \\[3pt] 0 & \tfrac{1}{20}\end{pmatrix}.]

Resposta

A = \begin{pmatrix}-\tfrac{1}{15} & \tfrac{1}{20} \\[3pt] 0 & \tfrac{1}{20}\end{pmatrix}.]

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